Feladat: B.3628 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csajbók Bence ,  Pongrácz András ,  Salát Máté 
Füzet: 2004/február, 90 - 92. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Négyszögek geometriája, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/március: B.3628

Négy testvér egy konvex négyszög alakú telket örökölt. A telek szemközti oldalainak felezőpontjait összekötve négy négyszögre osztották az örökséget. Az első három testvér rendre 360, 720 és 900m2-es telket kapott. Mekkora telek jutott a negyediknek?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A négyszög csúcsait jelölje A, B, C és D, az oldalfelező pontokat pedig E, F, G és H az 1. ábra szerint. A két középvonal M metszéspontját az oldalfelező pontokkal összekötő szakaszok súlyvonalak abban a négy háromszögben, amelyekre az M-et a csúcsokkal összekötő szakaszok osztják a négyszöget. Ezek a szakaszok tehát rendre felezik az egyes háromszögek területét. Ebből következik, hogy

[EAFM]+[HMGC]=[DEMH]+[MFBG]=t2,(1)
ahol t az ABCD négyszög területe. ([EAFM] annak a négyszögnek a területét jelöli, amelynek csúcsai E, A, F és M, a további tagok jelentése hasonló.) Ez következik abból, hogy mind a négy pár egyenlő területű háromszög egyike a fenti összeg bal, a másika pedig a jobb oldalán szerepel.
 

 
1. ábra
 

Válasszuk az egyszerűség kedvéért a területmérés egységének a 180 m2-t. Ekkor az ismert területű négyszögek rendre 2, 4 és 5 egység területűek. Az (1) egyenlőség szerint három eset lehetséges attól függően, hogy az ismeretlen területű negyedik rész melyik ismert területű kis négyszöggel van ,,átlósan'' szemközt a három közül. Ezek az esetek láthatók a 2/a., b., c. ábrákon. Megmutatjuk, hogy közülük kettő nem jöhet létre.
 
 

   
t=12,  t8=32>1
2/a. ábra  
 
t=14,  t8=74
2/b. ábra  
 
t=18,  t8=94>2
2/c. ábra  
 

Ismeretes, hogy egy négyszög oldalfelező pontjai paralelogrammát határoznak meg, melynek területe fele a négyszögének. Az ABCD négyszög középvonalai átlók ebben az EFGH paralelogrammában, azt tehát négy egyenlő, t8 területű háromszögre osztják. E háromszögek közül mind a négy örökrész tartalmaz egyet, azért mindegyikük területe nagyobb, mint t8 (3. ábra). Ez pedig egyedül a második, 2/b. ábra elrendezésében teljesül, a negyedik fivér örökségének a területe csak 3 egységnyi, azaz 540 m2 lehet.
 

 
3. ábra
 

Meg kell még mutatnunk, hogy ez az eredmény lehetséges, nincsen olyan további feltétel, ami kizárná. Ehhez megadunk egy konvex négyszöget, amelyben az egyes résznégyszögek területe rendre 2, 4, 5 és 3 egység.
Induljunk ki egy olyan ABCD négyszögből, amelynek az átlói 5:9, illetve 1:13 arányban osztják egymást a 4. ábra szerint. Ilyen konvex négyszög nyilván szerkeszthető. Ekkor [ABD][CDB]=113, ugyanis a két háromszög közös BD alapjához tartozó magasságok aránya ugyancsak 1:13. Hasonlóan kapjuk, hogy [ACD][CAB]=59. Ha tehát az ABCD négyszög területe 14 egység, akkor az átlói az 5. ábrán látható módon osztják 1 és 13, illetve 5 és 9 egységnyi területű háromszögekre. A négyszög oldalfelező pontjait összekötő szakaszok ezekben a háromszögekben középvonalak, ezért az ABCD négyszög csúcsainál keletkező háromszögek területe ezeknek az értékeknek a negyede. Végül a t2=7 egységnyi területű EFGH paralelogrammát az átlói 74 területű háromszögekre osztják (6. ábra). Az egyes részek területe így valóban
=[EAF]+[EFM]=14+74=2,[MFBG]=[FBG]+[FGM]=94+74=4,[MGCH]=[GCH]+[GHM]=134+74=5,végül[MHDE]=[HDE]+[HEM]=54+74=3.
A negyedik testvérnek tehát 540 m2 rész jutott.
 

 
4. ábra
 

 

 
5. ábra
 

 

 
6. ábra