Feladat: B.3620 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baráth Géza ,  Bérczi Kristóf ,  Boros Balázs ,  Czank Tamás ,  Farkas Balázs ,  Füredi Mihály ,  Pál Ágnes ,  Torma Róbert 
Füzet: 2004/február, 88 - 89. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rekurzív sorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):1951/december: Egyenlőtlenségek (4)
Feladatok: 2003/február: B.3620, 1951/november: 343. matematika feladat

Tegyük fel, hogy az
an+1=11-an-11+an
rekurzióval képzett sorozat periodikus. Mi lehet a sorozat első eleme?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Alakítsuk át a kifejezést:

an+1=11-an-11+an=1+an-(1-an)(1-an)(1+an)=2an1-an2.
Ismeretes, hogy tg2x=2tgx1-tg2x, ezért ha a1-et tgx-nek választjuk, akkor a2=tg2x, a3=tg4x, ..., an+1=tg2nx. (tgx minden valós értéket felvesz, tehát a1-et is.)
Tegyük föl, hogy a sorozat periódusának hossza k. Ekkor ak+1=a1, azaz tg2kx=tgx.
Ez az egyenlőség akkor teljesül, ha 2kx=x+πl (lZ), vagyis (2k-1)x=πl, tehát
x=πl2k-1.
Ebből következik, hogy a sorozat csak akkor lehet periodikus, hogyha arra az x-re, amelyre a1=tgx teljesül, x=πl2k-1 alakú (k1, k és l egész számok).
Ekkor valóban periodikus lesz a sorozat. Meg kell még mutatnunk, hogy an sohasem lesz ±1, vagyis a definiáló egyenlőség mindig értelmes. Ha ugyanis an=1 vagy -1, akkor tg(2n-1x)=1 vagy -1, ebből 2n-1x=14π+jπ vagy -14π+jπ (jZ), tehát x=1+4j2n+1π vagy x=-1+4j2n+1π. Tudjuk viszont hogy x=πl2k-1, így e két egyenlőségből
xπ=±1+4j2n+1=l2k-1
következik. Ebből (±1+4j)(2k-1)=l2n+1 adódik, de a bal oldal minden egész j-re és k1-re páratlan, míg a jobb oldal minden egész l-re és n1 esetén páros.
 
Megjegyzés. Az l2k-1 alakú számok speciálisnak tűnnek, valójában azonban minden páratlan nevezőjű racionális szám ilyen alakba írható. Az Euler‐Fermat-tétel szerint ugyanis (a;n)=1 esetén aφ(n)-10(modn). Ha a=2, akkor minden n páratlan szám relatív prím a-hoz. Így tetszőleges páratlan v-hez uv bővíthető úgy, hogy a nevező 2-hatványnál 1-gyel kisebb legyen:
uv=utvtés2φ(v)-10(modv),
azaz tv=2φ(v)-1.