Feladat: B.3613 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csorba János 
Füzet: 2004/február, 86. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/február: B.3613

Egy f:RR függvényre bármely x, y számok esetén
|f(x)-f(y)|=|x-y|.
Mennyi lehet f(2) értéke, ha f(1)=3?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Írjunk x helyére 1-et, y helyére 2-t. Így |f(1)-f(2)|=|1-2|=1. Mivel f(1)=3, így |3-f(2)|=1, azért f(2) vagy 2, vagy 4.
Az első esetben lehet f(x)=-x+4. Erre minden valós x, y esetén teljesül a feladat feltétele:

|f(x)-f(y)|=|-x+4-(-y+4)|=|-x+y|=|x-y|.
A második esetben lehet f(x)=x+2, ekkor
|f(x)-f(y)|=|x+2-y-2|=|x-y|.
f(2)-re más érték nem jöhet szóba.