Feladat: C.741 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartha Emőke ,  Csató László ,  Csoma Anikó ,  Dóka Éva ,  Fridrik József Richárd ,  Gyenis András ,  Horváth Gábor ,  Hutyán Péter ,  Kovác Zoltán ,  Kovács József ,  Kurgyis Eszter ,  Martinek László ,  Mezei Bálint ,  Nagy Zoltán ,  Németh Attila György ,  Peregi Tamás ,  Sárvári Anna ,  Simon Gergely ,  Szabó András László ,  Szakács Nóra ,  Szarka István ,  Szegő Márton ,  Szijártó Rita ,  Tóth Fanni ,  Varga Péter ,  Zomborszki Róbert 
Füzet: 2004/május, 275. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Háromszögek geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/december: C.741

Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldala, a és b, továbbá tudjuk, hogy (a szokásos jelölésekkel) α=2β.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

1. ábra
 

Megoldás. Írjuk fel a háromszög oldalaira a szinusztételt:
ab=sin2βsinβ=2sinβcosβsinβ.
Innen
cosβ=a2b.(1)
Mivel 0cosβ1, azért a2b, továbbá nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, s ezért b<a. A β szöget (1)-ből meg tudjuk szerkeszteni egy olyan derékszögű háromszögből, melynek szög melletti befogója a és átfogója 2b(>a). Ezután már a kívánt háromszöget is meg tudjuk szerkeszteni:
Az adott a szakasz fölé szerkesztünk egy α=2β szögű látókörívet, s ezt elmetsszük az adott b távolsággal. A megoldhatóság feltétele b<a<2b, továbbá 3β+γ=180 miatt β<60. Egyetlen megoldás van, mert a háromszög két oldalból és a nagyobbikkal szemben lévő szögből mindig egyértelműen megszerkeszthető.
 
 

2. ábra