Feladat: 3606. fizika feladat Korcsoport: - Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Vigh Máté 
Füzet: 2004/március, 182 - 183. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hosszú egyenes vezető mágneses tere, Feladat
Hivatkozás(ok):1951/augusztus: Egyenlőtlenségek (2.)
Feladatok: 2003/március: 3606. fizika feladat, 1951/május: 287. matematika feladat

Egy elektrolizáló kádhoz vezető függőleges, tömör rézvezetékben, melynek sugara 2cm, 100A erősségű áram folyik. Az áramvezető tengelyétől mekkora távolságban lesz az áram által keltett mágneses indukcióvektor nagysága 210-4T?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Oldjuk meg általánosan a feladatot! Legyen a rézvezeték sugara R, a benne folyó áram erőssége I. Az elrendezés geometriája miatt a mágneses mező hengerszimmetrikus kell legyen, az erővonalak koncentrikus körök. Az indukcióvektor nagysága a vezeték tengelyétől r távolságban B(r); ezt a függvényt szeretnénk meghatározni.
Feltételezhetjük, hogy a vezetékben az árameloszlás egyenletes (hiszen az áram az elektromos térerősséggel arányos, a térerősség pedig egy bizonyos feszültségre kapcsolt vezeték különböző pontjaiban jó közelítéssel ugyanakkora kell legyen); tehát az áramsűrűség (egységnyi felületen átfolyó áram) mindenhol

i=IR2π.

Tekintsünk egy r sugarú, a vezeték tengelyével koncentrikus kört, és írjuk fel rá a gerjesztési törvényt!
2πrB(r)={μ0I,harR,μ0ir2π,harR.

Innen
B(r)={μ0I2rπ,ha  rR,μ0I2RπrR,ha  rR.
Eredményünket az ábrán látható grafikonnal is szemléltethetjük. A B(r) függvény maximuma r=R-nél van, itt az indukcióvektor nagysága μ0I2Rπ.
 
 

A feladat számadataival Bmax=110-3 T, ez 5-ször nagyobb, mint a megadott mágneses indukció értéke. Eszerint két olyan hely (két olyan távolság) van, ahol az indukcióvektor nagysága 210-4 T, az egyik a vezető belsejében, a sugarának 15 részénél, azaz r1=4mm-nél; a másik pedig a vezetéken kívül, ott, ahol a tengelytől mért távolság a vezető sugarának 5-szöröse: r2=10cm.
 
Megjegyzés. A számolás során a réz relatív permeabilitását 1-nek tekintettük; ez jó közelítéssel igaz.