Kezdőlap


Feladat:	3630. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szekeres Balázs , Vigh Máté
Füzet:	2004/január, 55 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Pontszerű töltés térerőssége, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/május: 3630. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a hatszög oldalélének hosszát $R$ -rel, a hatszög közepén ülő töltést pedig $q$ -val! (Ez a töltés nyilván ellenkező előjelű, mint a csúcsokban elhelyezkedő töltések.) A hatszög egy-egy csúcsában levő töltésre hat a középső töltés

\begin{matrix} - k \frac{Q q}{R^{2}} \end{matrix}

nagyságú vonzóereje, valamint a többi töltés taszítóereje (1. ábra). Ez utóbbiak ,,sugárirányú'' komponensei rendre

\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot k \frac{Q^{2}}{R^{2}}, \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot k \frac{Q^{2}}{{(\sqrt[]{3} R)}^{2}}, k \frac{Q^{2}}{{(2 R)}^{2}} . \end{matrix}

Az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} k \frac{Q q}{R^{2}} + k \frac{Q^{2}}{R^{2}} (2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{6} + \frac{1}{4}) = 0, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} q = - Q (\frac{5}{4} + \frac{1}{\sqrt[]{3}}) \approx - 1, 83 Q . \end{matrix}

Figyelemre méltó, hogy az egyensúly feltétele nem függ a hatszög méretétől.

1. ábra

Milyen típusú ez az egyensúly? Ennek a kérdésnek eldöntéséhez vizsgáljuk meg, hogy ha valamelyik töltést egy kicsit kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből, vajon visszatér-e oda. Mozdítsuk ki például az egyik csúcsban ülő töltést sugárirányban

Δ r

távolsággal (a 2. ábrán látható módon), a többi töltés pedig maradjon az eredeti helyén. A kimozdított töltésre ható eredő erő akkor lenne nulla, ha a többi csúcsponti töltés is

R + Δ r

távol lenne

q

-tól, vagyis egy megnövelt oldalhosszú szabályos hatszög csúcsaiban helyezkedne el (hiszen mint láttuk, az egyensúly feltétele nem függ a hatszög méretétől). Most azonban a többi 5 csúcsponti töltés nem mozdult el, így az általuk kifejtett vonzóerő nagyobb, mint amekkora az egyensúly esetén lenne (hiszen közelebb vannak a kimozdított töltéshez, mint egyensúly esetén, és az erők hatásvonala is kisebb szöget zár be az eredő erő irányát megadó szimmetriatengellyel). Ez annyit jelent, hogy a kimozdított töltésre ható taszítóerő nagyobb, mint amekkora az egyensúlyhoz szükséges lenne, tehát az eredő erő kifelé mutat: az egyensúly labilis.

2. ábra

Hasonló eredményre jutunk akkor is, ha a középső töltést mozdítjuk ki egy kicsit. A hatszög középpontja akkor lenne

q

stabil egyensúlyi helyzete, ha annak kis környezetében a többi töltés által létrehozott elektromos mező iránya (

q > 0

esetén) mindenhol a középpont felé (

q < 0

esetén pedig éppen ellentétesen) mutatna. Ez azonban nem lehetséges, hiszen a hatszög középpontját körülfogó kicsiny zárt felületen (például egy kicsiny gömbfelületen) áthaladó elektromos fluxus ‐ Gauss törvénye szerint ‐ a körülvett töltéssel arányos, tehát nulla kell legyen. (Ne feledjük, hogy csak a többi töltés által létrehozott elektromos mezőt, illetve ezek fluxusát vizsgáljuk.) Általánosan igaz: egy ponttöltés sosem lehet stabil egyensúlyi helyzetben más pontszerű töltések elektrosztatikus erőterében!
Hátra van még a rendszer elektrosztatikus energiájának kiszámítása. Az egyik csúcsbeli töltés helyén a többi 6 töltés által létrehozott potenciál:

\begin{matrix} U_{1} = 2 \cdot k \frac{Q}{R} + 2 \cdot k \frac{Q}{\sqrt[]{3} R} + k \frac{Q}{2 R} - k \frac{q}{R} = (\frac{5}{2} + \frac{2}{\sqrt[]{3}}) \cdot k \frac{Q}{R} + k \frac{q}{R} = - k \frac{q}{R}, \end{matrix}

így egyetlen csúcsbeli töltés energiája a többiek terében

E_{1} = - k \frac{Q q}{R}

. A középpontban a csúcsponti töltések által létrehozott potenciál

\begin{matrix} U_{2} = 6 k \frac{Q}{R}, \end{matrix}

így a középponti töltés energiája a többi töltés terében

E_{2} = 6 k \frac{q Q}{R}

. A rendszer összenergiája

\begin{matrix} \sum E = \frac{1}{2} (6 E_{1} + E_{2}) = - 3 k \frac{q Q}{R} + 3 k \frac{q Q}{R} = 0. \end{matrix}

(A fenti képletben szereplő

\frac{1}{2}

-es szorzótényezőre azért van szükség, mert ha minden töltés energiáját kiszámítjuk a többi töltés terében, majd ezeket az energiákat összeadjuk, akkor a párkölcsönhatások mindegyikét 2-szer vesszük figyelembe.)

Megjegyzés. Hosszabb számolás nélkül is beláthatjuk, hogy a vizsgált rendszer elektrosztatikus összenergiája nulla. A hatszög alakban elrendezett töltések ‐ megfelelő nagyságú középső töltés esetén ‐ egyensúlyban vannak, tehát tetszőlegesen kicsiny erőhatással elmozdíthatók. Mozgassuk el a töltéseket úgy, hogy továbbra is egy szabályos (az eredetinél kicsit nagyobb) hatszöget alkossanak. Ez az elrendezés ismét egyensúlyi lesz, hiszen a hatszög mérete nem szerepel az erőegyensúly képletében, tehát még tovább növelhető, méghozzá munkavégzés nélkül. Az eljárást egészen addig folytathatjuk, míg a töltések egymástól is és a középső

q

töltéstől is nagyon messze (,,végtelen távolra'') kerülnek. Ekkor a rendszer kölcsönhatási energiája nulla lesz, és mivel a folyamat során nem kellett munkát végezzünk, ugyanennyi kellett legyen a rendszer energiája kezdetben is.
Ez az érdekes összefüggés nem csak a hatszöges elrendezésre érvényes, hanem általánosabban is igaz: egy töltésrendszer elektrosztatikus összenergiája nulla, ha a rendszer elemei (az elektrosztatikus erőhatások szempontjából) egyensúlyban vannak.