Feladat: 3630. fizika feladat Korcsoport: - Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Szekeres Balázs ,  Vigh Máté 
Füzet: 2004/január, 55 - 57. oldal  PDF file
Témakör(ök): Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Pontszerű töltés térerőssége, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/május: 3630. fizika feladat

Hat pontszerű, Q nagyságú töltés helyezkedik el egy szabályos hatszög csúcsaiban. Mekkora pontszerű töltés van a hatszög közepén, ha a rendszer egyensúlyban van? Mennyi a rendszer elektrosztatikus kölcsönhatási energiája? Milyen típusú az egyensúly?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a hatszög oldalélének hosszát R-rel, a hatszög közepén ülő töltést pedig q-val! (Ez a töltés nyilván ellenkező előjelű, mint a csúcsokban elhelyezkedő töltések.) A hatszög egy-egy csúcsában levő töltésre hat a középső töltés

-kQqR2
nagyságú vonzóereje, valamint a többi töltés taszítóereje (1. ábra). Ez utóbbiak ,,sugárirányú'' komponensei rendre
12kQ2R2,32kQ2(3R)2,kQ2(2R)2.
Az egyensúly feltétele:
kQqR2+kQ2R2(212+236+14)=0,
ebből
q=-Q(54+13)-1,83Q.
Figyelemre méltó, hogy az egyensúly feltétele nem függ a hatszög méretétől.
 
 

1. ábra
 

Milyen típusú ez az egyensúly? Ennek a kérdésnek eldöntéséhez vizsgáljuk meg, hogy ha valamelyik töltést egy kicsit kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből, vajon visszatér-e oda. Mozdítsuk ki például az egyik csúcsban ülő töltést sugárirányban Δr távolsággal (a 2. ábrán látható módon), a többi töltés pedig maradjon az eredeti helyén. A kimozdított töltésre ható eredő erő akkor lenne nulla, ha a többi csúcsponti töltés is R+Δr távol lenne q-tól, vagyis egy megnövelt oldalhosszú szabályos hatszög csúcsaiban helyezkedne el (hiszen mint láttuk, az egyensúly feltétele nem függ a hatszög méretétől). Most azonban a többi 5 csúcsponti töltés nem mozdult el, így az általuk kifejtett vonzóerő nagyobb, mint amekkora az egyensúly esetén lenne (hiszen közelebb vannak a kimozdított töltéshez, mint egyensúly esetén, és az erők hatásvonala is kisebb szöget zár be az eredő erő irányát megadó szimmetriatengellyel). Ez annyit jelent, hogy a kimozdított töltésre ható taszítóerő nagyobb, mint amekkora az egyensúlyhoz szükséges lenne, tehát az eredő erő kifelé mutat: az egyensúly labilis.
 
 

2. ábra
 

Hasonló eredményre jutunk akkor is, ha a középső töltést mozdítjuk ki egy kicsit. A hatszög középpontja akkor lenne q stabil egyensúlyi helyzete, ha annak kis környezetében a többi töltés által létrehozott elektromos mező iránya (q>0 esetén) mindenhol a középpont felé (q<0 esetén pedig éppen ellentétesen) mutatna. Ez azonban nem lehetséges, hiszen a hatszög középpontját körülfogó kicsiny zárt felületen (például egy kicsiny gömbfelületen) áthaladó elektromos fluxus ‐ Gauss törvénye szerint ‐ a körülvett töltéssel arányos, tehát nulla kell legyen. (Ne feledjük, hogy csak a többi töltés által létrehozott elektromos mezőt, illetve ezek fluxusát vizsgáljuk.) Általánosan igaz: egy ponttöltés sosem lehet stabil egyensúlyi helyzetben más pontszerű töltések elektrosztatikus erőterében!
Hátra van még a rendszer elektrosztatikus energiájának kiszámítása. Az egyik csúcsbeli töltés helyén a többi 6 töltés által létrehozott potenciál:
U1=2kQR+2kQ3R+kQ2R-kqR=(52+23)kQR+kqR=-kqR,
így egyetlen csúcsbeli töltés energiája a többiek terében E1=-kQqR. A középpontban a csúcsponti töltések által létrehozott potenciál
U2=6kQR,
így a középponti töltés energiája a többi töltés terében E2=6kqQR. A rendszer összenergiája
E=12(6E1+E2)=-3kqQR+3kqQR=0.
(A fenti képletben szereplő 12-es szorzótényezőre azért van szükség, mert ha minden töltés energiáját kiszámítjuk a többi töltés terében, majd ezeket az energiákat összeadjuk, akkor a párkölcsönhatások mindegyikét 2-szer vesszük figyelembe.)
 

Megjegyzés. Hosszabb számolás nélkül is beláthatjuk, hogy a vizsgált rendszer elektrosztatikus összenergiája nulla. A hatszög alakban elrendezett töltések ‐ megfelelő nagyságú középső töltés esetén ‐ egyensúlyban vannak, tehát tetszőlegesen kicsiny erőhatással elmozdíthatók. Mozgassuk el a töltéseket úgy, hogy továbbra is egy szabályos (az eredetinél kicsit nagyobb) hatszöget alkossanak. Ez az elrendezés ismét egyensúlyi lesz, hiszen a hatszög mérete nem szerepel az erőegyensúly képletében, tehát még tovább növelhető, méghozzá munkavégzés nélkül. Az eljárást egészen addig folytathatjuk, míg a töltések egymástól is és a középső q töltéstől is nagyon messze (,,végtelen távolra'') kerülnek. Ekkor a rendszer kölcsönhatási energiája nulla lesz, és mivel a folyamat során nem kellett munkát végezzünk, ugyanennyi kellett legyen a rendszer energiája kezdetben is.
Ez az érdekes összefüggés nem csak a hatszöges elrendezésre érvényes, hanem általánosabban is igaz: egy töltésrendszer elektrosztatikus összenergiája nulla, ha a rendszer elemei (az elektrosztatikus erőhatások szempontjából) egyensúlyban vannak.