Kezdőlap


Feladat:	B.3632	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ablonczy Dávid , Balogh Tamás , Bartha Emőke , Békéssy Herman András , Bereczki Péter , Czank Tamás , Erdélyi Márton , Jankó Zsuzsanna , Kaposi Ambrus , Karádi Laura , Klobb Maja , Kormányos Balázs , Korotij Ágnes , Kórus Péter , Kovács Péter , Mátyás Péter , Milotai Zoltán , Németh Zsolt , Pataki Zsombor , Reiss Tibor , Révész Zoltán , Ruppert László Gábor , Szabó Botond , Szilágyi Csaba , Tábor Áron , Tóthmérész Lilla , Vaskó Richárd
Füzet:	2004/március, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/április: B.3632

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenletnek minden egész szám megoldása, hiszen ilyenkor mindkét oldalon nulla áll. Ugyancsak megoldás minden 0 és 1 közötti valós szám is, hiszen ezekre $[x] = 0$ . A továbbiakban legyen $x = n + α$ , ahol $n = [x] \neq 0$ egész, $0 < α = {x} < 1$ . Megmutatjuk, hogy ilyen $x$ szám nem lehet megoldás. Ehhez felhasználjuk, hogy ha $a$ és $b$ pozitívak és $k \geq 2$ egész, akkor a binomiális tétel szerint

\begin{matrix} {(a + b)}^{k} = a^{k} + b^{k} + (\sum_{i = 1}^{k - 1} (\binom{k}{i}) a^{i} b^{k - i}) > a^{k} + b^{k} . \end{matrix}

Tegyük fel először, hogy

n \geq 1

, ekkor

n

és

α

pozitívak, azért

{(n + α)}^{2003} > n^{2003} + α^{2003}

, így

x^{2003} \neq {[x]}^{2003} + {x}^{2003}

, azaz

x^{2003} - {[x]}^{2003} \neq {(x - [x])}^{2003}

. Ha pedig

n \leq - 1

, akkor

- (n + α) > 0

és

α > 0

miatt

\begin{matrix} - {[x]}^{2003} & = {(- (n + α) + α)}^{2003} > {(- (n + α))}^{2003} + α^{2003} = \\ = - x^{2003} + {(x - [x])}^{2003}, \end{matrix}

tehát

- {[x]}^{2003} \neq - x^{2003} + {(x - [x])}^{2003}

, azaz

x^{2003} - {[x]}^{2003} \neq {(x - [x])}^{2003}

. Az egyenlet megoldásai tehát az egész számok és az 1-nél kisebb pozitív számok.