Feladat: B.3632 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ablonczy Dávid ,  Balogh Tamás ,  Bartha Emőke ,  Békéssy Herman András ,  Bereczki Péter ,  Czank Tamás ,  Erdélyi Márton ,  Jankó Zsuzsanna ,  Kaposi Ambrus ,  Karádi Laura ,  Klobb Maja ,  Kormányos Balázs ,  Korotij Ágnes ,  Kórus Péter ,  Kovács Péter ,  Mátyás Péter ,  Milotai Zoltán ,  Németh Zsolt ,  Pataki Zsombor ,  Reiss Tibor ,  Révész Zoltán ,  Ruppert László Gábor ,  Szabó Botond ,  Szilágyi Csaba ,  Tábor Áron ,  Tóthmérész Lilla ,  Vaskó Richárd 
Füzet: 2004/március, 152 - 153. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egészrész, törtrész függvények, Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/április: B.3632

Oldjuk meg az x2003-[x]2003=(x-[x])2003 egyenletet a valós számok körében.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenletnek minden egész szám megoldása, hiszen ilyenkor mindkét oldalon nulla áll. Ugyancsak megoldás minden 0 és 1 közötti valós szám is, hiszen ezekre [x]=0. A továbbiakban legyen x=n+α, ahol n=[x]0 egész, 0<α={x}<1. Megmutatjuk, hogy ilyen x szám nem lehet megoldás. Ehhez felhasználjuk, hogy ha a és b pozitívak és k2 egész, akkor a binomiális tétel szerint

(a+b)k=ak+bk+(i=1k-1(ki)aibk-i)>ak+bk.

Tegyük fel először, hogy n1, ekkor n és α pozitívak, azért (n+α)2003>n2003+α2003, így x2003[x]2003+{x}2003, azaz x2003-[x]2003(x-[x])2003. Ha pedig n-1, akkor -(n+α)>0 és α>0 miatt
-[x]2003=(-(n+α)+α)2003>(-(n+α))2003+α2003==-x2003+(x-[x])2003,
tehát -[x]2003-x2003+(x-[x])2003, azaz x2003-[x]2003(x-[x])2003. Az egyenlet megoldásai tehát az egész számok és az 1-nél kisebb pozitív számok.