Kezdőlap


Feladat:	B.3602	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2004/március, 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/január: B.3602

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a medence oldalának hossza egységnyi, középpontját jelölje $O$ . Tekintsük azt a $d$ oldalú négyzetet, amelynek középpontja ugyancsak $O$ , oldalai párhuzamosak a medence oldalaival, és $\frac{1}{5} < d < \frac{1}{4}$ . Ekkor Jerry a kis négyzetet hamarabb tudja körbeúszni, mint Tom a medencét körbejárni, hiszen sebessége Tom sebességének negyede, megteendő útja, $4 d$ viszont a medence kerületének a negyedénél kisebb. Így a belső kis négyzet kerületére úszva majd azon mozogva el tudja érni, hogy Tomhoz képest az $O$ pontnak éppen átellenes felén legyen.

Jelölje ekkor a helyzetét

P_{2}

, Tomét pedig

P_{1}

. Megmutatjuk, hogy a medence legközelebbi

Q

pontjához úszva Jerry megmenekül. Ehhez a

Q P_{2} = \frac{1 - d}{2}

utat kell úszva megtennie. Jelölje

P_{1}

-nek a medence hozzá legközelebbi csúcsától való távolságát

x

, ekkor

x \leq \frac{1}{2}

, és a párhuzamos szelők tétele szerint

\begin{matrix} y : (\frac{1}{2} - x) = \frac{1 - d}{2} : \frac{1}{2}, \end{matrix}

így

y = \frac{1}{2} + x d - x - \frac{d}{2}

. Ezért Tom legrövidebb útja a

Q

pontig (a körbejárás irányától függően):

x + 1 + (1 - x - y) = 2 - y

és

(1 - x) + 1 + x + y = 2 + y

kisebbike, azaz

\begin{matrix} 2 - y = \frac{3}{2} + \frac{d}{2} + x (1 - d) \geq \frac{3 + d}{2} . \end{matrix}

Ez nagyobb a Jerryre váró

\frac{1 - d}{2}

út 4-szeresénél, mivel

d > \frac{1}{5}

. Ezen a módon tehát Jerry valóban el tud menekülni.