Feladat: B.3602 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2004/március, 143. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/január: B.3602

A négyzet alakú medencében úszkáló Jerry el szeretne menekülni a parton rá leső Tom elől. Tom nem tud úszni, lassabban fut, mint Jerry, viszont négyszer olyan gyorsan fut, mint ahogy Jerry úszik. Megmenekülhet-e mindig Jerry?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a medence oldalának hossza egységnyi, középpontját jelölje O. Tekintsük azt a d oldalú négyzetet, amelynek középpontja ugyancsak O, oldalai párhuzamosak a medence oldalaival, és 15<d<14. Ekkor Jerry a kis négyzetet hamarabb tudja körbeúszni, mint Tom a medencét körbejárni, hiszen sebessége Tom sebességének negyede, megteendő útja, 4d viszont a medence kerületének a negyedénél kisebb. Így a belső kis négyzet kerületére úszva majd azon mozogva el tudja érni, hogy Tomhoz képest az O pontnak éppen átellenes felén legyen.

 
 

Jelölje ekkor a helyzetét P2, Tomét pedig P1. Megmutatjuk, hogy a medence legközelebbi Q pontjához úszva Jerry megmenekül. Ehhez a QP2=1-d2 utat kell úszva megtennie. Jelölje P1-nek a medence hozzá legközelebbi csúcsától való távolságát x, ekkor x12, és a párhuzamos szelők tétele szerint
y:(12-x)=1-d2:12,
így y=12+xd-x-d2. Ezért Tom legrövidebb útja a Q pontig (a körbejárás irányától függően): x+1+(1-x-y)=2-y és (1-x)+1+x+y=2+y kisebbike, azaz
2-y=32+d2+x(1-d)3+d2.
Ez nagyobb a Jerryre váró 1-d2 út 4-szeresénél, mivel d>15. Ezen a módon tehát Jerry valóban el tud menekülni.