Kezdőlap


Feladat:	C.728	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Álmos Soma
Füzet:	2004/március, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Konvex négyszögek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/szeptember: C.728

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A négyszöget úgy kaphatjuk, hogy az $A B D$ és $B C D$ derékszögű háromszögeket összeillesztjük a $B D$ oldaluk mentén. A feltétel szerint $B C = C D = a$ , vagyis $B C D$ egyenlő szárú derékszögű háromszög, $C B D ∢ = C D B ∢ = 45^{\circ}$ és $B D = a \sqrt[]{2}$ .

Hosszabbítsuk meg az

A D

és

B C

oldalakat, metszéspontjuk legyen

M

. Mivel

D A B ∢ = A B C ∢ = φ

, az

A B M

háromszög is egyenlő szárú.
Az

A B C D

négyszögben

\begin{matrix} 2 φ + 90^{\circ} + (45^{\circ} + 90^{\circ}) = 360^{\circ} . \end{matrix}

Innen

2 φ = 135^{\circ}

és

A M B ∢ = 45^{\circ}

. Ekkor

D C M

is egyenlő szárú derékszögű háromszög és

D M = a \sqrt[]{2}

. Keressük a

\frac{D C}{A D} = \frac{a}{x}

arányt. Az

A B M

egyenlő szárú háromszög szára

x + a \sqrt[]{2} = 2 a

. Rendezve az egyenletet

a (2 - \sqrt[]{2}) = x

, vagyis

\begin{matrix} \frac{a}{x} = \frac{1}{2 - \sqrt[]{2}} \approx 1, 7071. \end{matrix}