Feladat: C.728 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Horváth Álmos Soma 
Füzet: 2004/március, 140 - 141. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Konvex négyszögek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/szeptember: C.728

Az ABCD konvex négyszög A és B csúcsánál lévő szögei egyenlők, C-nél fekvő szöge derékszög. Az AD oldal merőleges a BD átlóra. A BC oldal hossza megegyezik a CD oldaléval. Hányszorosa ez a közös hossz az AD oldal hosszának?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A négyszöget úgy kaphatjuk, hogy az ABD és BCD derékszögű háromszögeket összeillesztjük a BD oldaluk mentén. A feltétel szerint BC=CD=a, vagyis BCD egyenlő szárú derékszögű háromszög, CBD=CDB=45 és BD=a2.

 
 

Hosszabbítsuk meg az AD és BC oldalakat, metszéspontjuk legyen M. Mivel DAB=ABC=φ, az ABM háromszög is egyenlő szárú.
Az ABCD négyszögben
2φ+90+(45+90)=360.
Innen 2φ=135 és AMB=45. Ekkor DCM is egyenlő szárú derékszögű háromszög és DM=a2. Keressük a DCAD=ax arányt. Az ABM egyenlő szárú háromszög szára x+a2=2a. Rendezve az egyenletet a(2-2)=x, vagyis
ax=12-21,7071.