Feladat: C.726 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dékány Tamás 
Füzet: 2004/március, 139. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szabályos sokszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/szeptember: C.726

Van-e olyan szabályos sokszög, amelyben a legrövidebb átló hossza egyenlő a sokszög körülírt körének a sugarával?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A szabályos n-szög csúcsai legyenek A1,A2,A3,...,An. Induljunk ki az A1 csúcsból és húzzuk be az A1-ből induló legrövidebb átlót, ez nyilván az A1A3 szakasz. A sokszög köré írt kör sugara r, középpontja O. A feltétel szerint A1A3=r. Ekkor az OA1A3 háromszög szabályos, és így A1OA3=60. Az OA2 egyenes merőleges A1A3-ra és felezi az A1OA3 szöget. Eszerint A1OA2=30, a keresett sokszög tehát a szabályos 12-szög.