Feladat: B.3638 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Baráth Géza ,  Bartha Emőke ,  Bartha Ferenc ,  Bérczi Kristóf ,  Bereczki Péter ,  Boros Balázs ,  Erdélyi Márton ,  Fehér Gábor ,  Füredi Mihály ,  Gehér György ,  Hubai Tamás ,  Jankó Zsuzsanna ,  Juhász Máté Lehel ,  Király Csaba ,  Kiss-Tóth Christián ,  Koreck Péter ,  Kormányos Balázs ,  Korotij Ágnes ,  Kórus Péter ,  Molnár András ,  Pálinkás Csaba ,  Pesti Veronika ,  Pongrácz András ,  Salát Máté ,  Sándor Ágnes ,  Sándor Nóra Katalin ,  Seres Gyula ,  Simon Balázs ,  Strenner Balázs ,  Szabó Botond ,  Szalai Attila ,  Szirtes Krisztina ,  Tábor Áron ,  Torma Róbert 
Füzet: 2004/január, 29 - 30. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ponthalmazok, Konstruktív megoldási módszer, Trigonometrikus függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/április: B.3638

A sík egy egyeneséről azt mondjuk, hogy érinti a H ponthalmazt, ha H-nak pontosan egy pontja illeszkedik -re. Adjunk meg a síkon olyan ponthalmazt, melynek minden pontjában pontosan egy érintője van és a sík minden egyenesén van legalább egy pontja.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vegyük fel az e egyenest, valamint erre merőlegesen az f és g egyeneseket, melyek az e egyenest rendre az F és G pontokban metszik. Megmutatjuk, hogy a H=efg{F,G} ponthalmaz eleget tesz a feladat feltételeinek.

 
 

1. ábra
 

Először azt látjuk be, hogy H-nak minden pontjában pontosan egy érintője van. Ha P H-nak egy az e egyenesen lévő pontja, akkor a P-n átmenő egyenesek közül csak az e-re merőleges egyenes lesz érintő. Ha P H-nak az f egyenesen lévő pontja, akkor az egyetlen P-n áthaladó érintő a PG egyenes, ha pedig P H-nak a g egyenesen lévő pontja, akkor az egyetlen P-n áthaladó érintő a PF egyenes.
Másrészt H-nak a sík tetszőleges h egyenesén van pontja. Ha ugyanis h nem párhuzamos e-vel, akkor metszi e-t, és ha ez a metszéspont egybeesik az F vagy a G ponttal, akkor h vagy megegyezik az f vagy a g egyenessel, vagy egy G-től, illetve F-től különböző pontjában metszi g-t vagy f-et. Ha pedig h párhuzamos e-vel, akkor vagy egybeesik vele, vagy pedig metszi H-t mind az f, mind a g egyenes egy-egy pontjában.
A H ponthalmaz tehát megfelel a feladat feltételeinek.
Szalai Attila (Szeged, Radnóti M. Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

 
II. megoldás. Keressük a megoldást, mint egy függvény grafikonját. Vizsgáljuk meg, hogy egy így kapott görbe mikor tesz eleget feladatunk feltételeinek.
A görbe tetszőleges pontjában a függőleges (az y tengellyel párhuzamos) egyenes érintő. Másrészt a görbe csak akkor metszi az összes függőleges egyenest, ha a függvény minden valós számra értelmezve van. Olyan függvényt kell tehát keresnünk, amely minden valós számra értelmezve van és görbéje minden nem függőleges egyenest legalább két pontban metsz. Ez utóbbi feltételnek nyilván eleget tesznek pl. azok a periodikus függvények, melyek értékkészlete az összes valós szám és egy perióduson belül folytonosak. Ilyen függvényre legismertebb példa a tangensfüggvény, ha alkalmasan terjesztjük ki a valós számok halmazára.
 
 

2. ábra
 

Ezek alapján tehát ha a tangensfüggvényt kiterjesztjük úgy, hogy szakadási helyein értékét pl. 0-nak definiáljuk, akkor az így kapott függvény grafikonja (2. ábra) eleget tesz feladatunk feltételeinek.
Filus Tamás (Szeged, Radnóti M. Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján