Feladat: B.3626 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2004/január, 25. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rekurzív sorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/március: B.3626

Az x0,x1,x2,... sorozat első két tagja pozitív, és fennáll, hogy xn+2=xn+1+1xn. Fejezzük ki a sorozat 2003-adik tagját x0 és x1 segítségével.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha xn és xn+1 pozitív, akkor xn+2 értelmes és pozitív. Mivel x0 és x1 pozitív, a teljes indukció elve miatt a sorozat valamennyi eleme értelmezhető és pozitív szám lesz.
Ha x0=a és x1=b, akkor a rekurzív definíció alapján x2=b+1a, x3=a+b+1ab, x4=a+1b, x5=a, x6=b. Vagyis x5=x0, x6=x1. Ha valamely k természetes számra xk+5=xk és xk+6=xk+1, akkor xk+7=xk+6+1xk+5=xk+1+1xk=xk+2. A sorozat tehát periodikus 5 hosszúságú periódussal.
Ezért a sorozat 2003-adik tagja: x2002=x2=x1+1x0.