Feladat: C.718 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2004/január, 22. oldal  PDF file
Témakör(ök): Exponenciális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/április: C.718

Oldjuk meg a (9-3x)3x-(x-2)(x2-5x+6)=0 egyenletet a valós számok halmazán.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az x2-5x+6 másodfokú kifejezés az (x-2)(x-3) szorzattá alakítható. Ezt beírva az egyenletbe és (9-3x)-ből kiemelve (-3)-mat kapjuk, hogy

-3(x-3)3x-(x-2)(x-2)(x-3)=0.
Ezt tovább alakítva az
(x-3)(-3x+1-(x-2)2)=0
egyenlethez jutunk. Innen x=3, illetve 3x+1=-(x-2)2, ez azonban soha nem teljesülhet, mert a 3 hatványai pozitív számok.
Az egyenlet egyetlen megoldása tehát x=3, s ez valóban megoldás, mert csak azonos átalakításokat végeztünk.