Feladat: C.700 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartha Emőke 
Füzet: 2004/január, 21 - 22. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sík parkettázás, Tengelyes tükrözés, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/január: C.700

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen ABCD az adott négyszög. A lehajtott csúcsok közös pontja P. Az A csúcs lehajtásakor keletkezett élszakasz végpontjai E és H (az ábra szerint), a B csúcs lehajtásakor keletkezett szakasz végpontjai E és F. Legyen BEF∢=α, HEA∢=β. Nyilván EB=EP és AE=EP, azaz EB=EA, tehát E az AB szakasz felezőpontja. Hasonlóan láthatjuk be, hogy F pont a BC szakasz, G a CD és H a DA szakasz felezőpontja. Az EAH és EPH háromszögek egybevágóságából (fedésbe hozhatók) következik, hogy PEH∢=β, a BEF és PEF egybevágósága miatt FEP∢=α és így 2α+2β=180∘-ból kapjuk, hogy FEH∢=90∘, vagyis az EFGH négyszög E-nél lévő szöge derékszög. Mivel az E csúcs helyzetéről semmit sem használtunk ki a bizonyítás során, következik, hogy az EFGH négyszög minden szöge derékszög. Láttuk, hogy E az AB szakasz felezőpontja, H pedig az AD szakaszé, vagyis EH az ABD háromszög középvonala és ezért párhuzamos BD-vel. Hasonlóképpen FG∥BD, FE∥AC valamint GH∥AC, és FE⊥EH, amiből következik, hogy az ABCD négyszög AC és BD átlói merőlegesek egymásra.

 
 

Annak szükséges feltétele tehát, hogy a négyszög behajtott csúcsai egy közös pontba kerüljenek és a részek hézagmentesen és egyrétűen lefedjék a négyszöget, az, hogy a négyszög átlói merőlegesek legyenek egymásra. Könnyen beláthatjuk, hogy ez a feltétel elégséges is. Például az ABD háromszög EH középvonalára tükrözve az AEH háromszög a vele egybevágó PEH háromszögbe megy át, ahol P az ABCD négyszög merőleges átlóinak a metszéspontja.