Feladat: C.700 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartha Emőke 
Füzet: 2004/január, 21 - 22. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sík parkettázás, Tengelyes tükrözés, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/január: C.700

Papírból kivágunk egy négyszög alakú lapot, ráírjuk üdvözlő sorainkat, majd sarkainál behajtjuk úgy, hogy a csúcsok egy közös pontba kerüljenek. Milyen négyszöget vágjunk ki, hogy a behajtott részek hézagmentesen és egymás átfedése nélkül takarják a négyszög többi részét?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen ABCD az adott négyszög. A lehajtott csúcsok közös pontja P. Az A csúcs lehajtásakor keletkezett élszakasz végpontjai E és H (az ábra szerint), a B csúcs lehajtásakor keletkezett szakasz végpontjai E és F. Legyen BEF=α, HEA=β. Nyilván EB=EP és AE=EP, azaz EB=EA, tehát E az AB szakasz felezőpontja. Hasonlóan láthatjuk be, hogy F pont a BC szakasz, G a CD és H a DA szakasz felezőpontja. Az EAH és EPH háromszögek egybevágóságából (fedésbe hozhatók) következik, hogy PEH=β, a BEF és PEF egybevágósága miatt FEP=α és így 2α+2β=180-ból kapjuk, hogy FEH=90, vagyis az EFGH négyszög E-nél lévő szöge derékszög. Mivel az E csúcs helyzetéről semmit sem használtunk ki a bizonyítás során, következik, hogy az EFGH négyszög minden szöge derékszög. Láttuk, hogy E az AB szakasz felezőpontja, H pedig az AD szakaszé, vagyis EH az ABD háromszög középvonala és ezért párhuzamos BD-vel. Hasonlóképpen FGBD, FEAC valamint GHAC, és FEEH, amiből következik, hogy az ABCD négyszög AC és BD átlói merőlegesek egymásra.

 
 

Annak szükséges feltétele tehát, hogy a négyszög behajtott csúcsai egy közös pontba kerüljenek és a részek hézagmentesen és egyrétűen lefedjék a négyszöget, az, hogy a négyszög átlói merőlegesek legyenek egymásra. Könnyen beláthatjuk, hogy ez a feltétel elégséges is. Például az ABD háromszög EH középvonalára tükrözve az AEH háromszög a vele egybevágó PEH háromszögbe megy át, ahol P az ABCD négyszög merőleges átlóinak a metszéspontja.