Feladat: 3586. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2003/október, 442 - 444. oldal  PDF file
Témakör(ök): Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Folyadékhozam, Bernoulli-törvény, Analógia alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/január: 3586. fizika feladat

Egy űrhajóban V térfogatú, T hőmérsékletű, p0 nyomású levegő van. Az űrhajó falán keletkezik egy A keresztmetszetű piciny lyuk, amelyen keresztül a benti levegő lassan szivárog kifelé.
Mennyi idő alatt csökken a benti levegő nyomása a felére? (Tegyük fel, hogy a benti levegő hőmérséklete nem változik!)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Kis áramlási sebességeknél a gázok az összenyomhatatlan folyadékokhoz hasonlóan viselkednek. Jó közelítéssel (kb. 10% pontossággal) érvényes rájuk a kiömlési törvény, amely szerint p nyomáskülönbségnél a kiáramlási sebesség

v=2pϱ=2RTM,
ami állandó hőmérsékleten állandó. (M a gáz móltömegét jelöli.)
Kis Δt idő alatt az A keresztmetszetű lyukon keresztül ΔV=ΔtvA térfogatú levegő hagyja el az űrhajót. Ez Δn=pΔVRT=ΔtpA2MRT anyagmennyiséget jelent mólokban kifejezve. A nyomás megváltozása
Δp=-ΔnRTV=-ΔtpAV2RTM,
a negatív előjel a nyomás csökkenését jelzi. A Δt0 határátmenetben ugyanolyan jellegű differenciálegyenletet kapunk, mint a radioaktív bomlás egyenlete:
dpdt=-pAV2RTM=-λp.
Az egyenlet megoldása:
p(t)=p0e-λt,
ahol p0 a nyomás kezdeti értéke. A nyomás
t1/2=ln2λ=ln2VAM2RT
idő alatt csökken a felére.
 
II. megoldás. Ha a lyuk mérete jóval kisebb, mint a molekulák szabad úthossza (ami normál állapotú gázra kb. 10-5 cm), akkor csak azok a molekulák jutnak rajta keresztül, amelyek sebessége éppen ehhez megfelelő. Durva megfontolás alapján azt mondhatjuk, hogy a részecskék harmadrésze mozog a lyukas falra merőlegesen, hatodrésze a fal felé. Így Δt idő alatt
16NVAv¯Δt
részecske jut el a lyukhoz (v¯ az átlagsebesség). Ez a gondolatmenet nem veszi figyelembe a részecskék sebesség szerinti eloszlását; a pontos számítás az
14NVAv¯Δt
eredményt adja. T hőmérsékleten az átlagsebesség1
v¯=8RTπM.
A nyomás megváltozása Δt idő alatt
Δp=-ΔtpAVRT2πM,innent1/2=ln2λ=ln2VA2πMRT,
2π-szer nagyobb, mint az előző (más körülmények között érvényes) megoldás eredménye.
(Több dolgozat alapján

 
Megjegyzés. A nagyságrendek érzékeltetése kedvéért tanulságos kiszámítani, hogy mennyi idő alatt esik a nyomás az eredeti érték felére, ha V=100m3, A=1mm2 és T a szobahőmérséklet. Az eredmény: 50 óra.
((G. P.)

1Négyjegyű függvénytáblázat képlete hibás, a sebesség négyzetének átlaga nem egyezik meg az átlagsebesség négyzetével.