Kezdőlap


Feladat:	3580. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sepsi Örs , Sótér Anna
Füzet:	2003/október, 441 - 442. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tehetetlenségi erők, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: 3580. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az űrállomáshoz rögzített forgó koordináta-rendszerben fellépő centrifugális erő nagysága akkor egyezik meg a földi gravitációs erővel, ha

\begin{matrix} m R ω^{2} = m g, azaz ω = ω_{{max}_{}^{}} = \sqrt[]{\frac{g}{R}} = 0, 99 \frac{1}{s} \approx 1 \frac{1}{s} . \end{matrix}

A ,,mesterséges gravitáció'' akkor csökken a szokásos érték felére, ha a szögsebességet

\begin{matrix} ω = ω_{{min}_{}^{}} = \sqrt[]{\frac{g}{2 R}} = 0, 70 \frac{1}{s} \end{matrix}

értékre változtatják. A szőnyegek akkor nem csúsznak el a padlón, ha a tapadási súrlódási erő legnagyobb értéke elegendő a szőnyegek lassításához:

\begin{matrix} m R | β | \leq μ \cdot m R ω^{2}, \end{matrix}

azaz az állandónak feltételezett szöggyorsulás nagysága

\begin{matrix} | β | \leq μ ω_{{min}_{}^{}}^{2} = \frac{μ g}{2 R} = 0, 05 \frac{1}{s^{2}} . \end{matrix}

(A szőnyegek megcsúszása szempontjából a legkisebb szögsebesség elérésének pillanata, vagyis a fékezés legvége a kritikus.) A fékezés ideje

\begin{matrix} T = \frac{ω_{{max}_{}^{}} - ω_{{min}_{}^{}}}{| β |} \approx 5, 9 s. \end{matrix}

Ha nem ragaszkodunk az egyenletes lassításhoz, akkor kezdetben ‐ amikor a szögsebesség még nagy ‐ erősebben fékezhetjük a tornatermet, s csak később, fokozatosan kell a szöggyorsulás nagyságát lecsökkentenünk. Ezzel a fékezés ideje nyilván lerövidíthető. Ha minden pillanatban éppen olyan ütemben csökkentjük a forgás szögsebességét, hogy a szőnyegek a megcsúszás határán legyenek, akkor a ,,szöglassulás''

| β | = - \frac{Δ ω}{Δ t} = μ ω^{2}

, ahol

ω

a pillanatnyi szögsebesség

(ω_{{max}_{}^{}} \geq ω \geq ω_{{min}_{}^{}})

. Osszuk fel gondolatban a kezdeti és a végső szögsebesség különbségét

n

egyenlő részre, és számítsuk ki, hogy az egyes szögsebesség-intervallumokon a ,,megengedett'' legnagyobb fékezéssel számolva összesen mennyi időre van szükségünk a fékezéshez! Az

i

-edik intervallumban

| β_{i} | = μ ω_{i}^{2}

-tel számolva

\begin{matrix} T = \sum_{i = 1}^{n} Δ t_{i} = \frac{1}{μ} \sum_{i = 1}^{n} \frac{ω_{i + 1} - ω_{i}}{ω_{i}^{2}} \approx \int_{ω_{{min}_{}^{}}}^{ω_{{max}_{}^{}}} \frac{1}{ω^{2}} d ω = \frac{1}{μ} (\frac{1}{ω_{{min}_{}^{}}} - \frac{1}{ω_{{max}_{}^{}}}) = 4, 2 s . \end{matrix}

A fenti képletből az is leolvasható, hogy az

ω_{{min}_{}^{}} = 0

esetnek megfelelő teljes súlytalanság véges hosszú fékezési idő alatt nem érhető el!

() Sepsi Örs (Debreceni Ref. Koll. Gimnáziuma, 12. o.t.)
dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A leggyorsabb megcsúszásmentes fékezés feltétele (vagyis hogy a szögsebesség idő szerinti deriváltja arányos a szögsebesség négyzetével) az

ω (t)

függvényre nézve egy differenciálegyenlet. Ennek megoldása módszeresen is meghatározható, de találgatással (pl. hatványfüggvények körében keresve) is megkapható. A megoldás:

ω (t) = 1 / (μ t)

, ha az időt nem a lassítás megkezdésének pillanatától, hanem egy korábbi (a kezdeti szögsebesség által megszabott) időponttól mérjük. Látható, hogy a szögsebesség ilyen feltételek mellett soha nem csökken nullára, de tetszőlegesen megközelítheti a tökéletes súlytalanságnak megfelelő állapotot.
2. A feladatban szereplő űrtornateremnek még egyenletes forgás esetén is kellemetlen ,,mellékhatásai'' lehetnek. Ha a tornaterem a földi

g

-nek megfelelő szögsebességgel forog, akkor a kerületi sebessége kb. 10 m/s. Ha valaki magasugróversenyt rendez ebben az űrtornateremben, akkor tanácsos, hogy a nekifutó pályát a henger egyik alkotója mentén, vagyis a forgástengellyel párhuzamosan jelölje ki. Ellenkező esetben az eredmények nem lennének hitelesek, ugyanis a hengerpalást belső felületén (a forgástengelyre merőleges irányban) ,,körbefutva'' jelentős súlycsökkenést (vagy éppen súlynövekedést) lehetne elérni. Ha pl. a forgásiránnyal szemben haladva 6 m/s sebességgel sprintelünk (erre még egy átlagember is képes), a sebességünk az inerciarendszerhez képest 4 m/s-ra, a ,,nehézségi gyorsulás'' pedig

1, 6 m/s^{2}

-re csökken. Egy jó sportoló jól tapadó cipőben, megfelelő technikával elvileg még a teljes súlytalanság elérésére is képes!

() Sótér Anna (Székesfehérvár, Ciszterci Szent István Gimn., 11. o.t.)