Feladat: 3580. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Sepsi Örs ,  Sótér Anna 
Füzet: 2003/október, 441 - 442. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tehetetlenségi erők, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: 3580. fizika feladat

Egy űrállomás R=10m sugarú forgó henger alakú tornatermében a földi g-nek megfelelő nagyságú ,,mesterséges gravitációt'' hoznak létre. Amikor nem használják a tornatermet, (rosszul értelmezett takarékosságból) egyenletes lassítással g-t a szokásos érték felére csökkentik.
Mennyi időre van szükség a lassításhoz, ha azt akarják, hogy a padlón lévő szőnyegek ne csússzanak el eredeti helyükről? (A tapadási súrlódási együttható a szőnyegek és a padló között legalább 0,1.)
Mennyire csökkenthető le a fékezés ideje, ha nem ragaszkodunk az egyenletes lassításhoz? Mennyi időre lenne szükség a teljes súlytalanság eléréséhez?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az űrállomáshoz rögzített forgó koordináta-rendszerben fellépő centrifugális erő nagysága akkor egyezik meg a földi gravitációs erővel, ha

mRω2=mg,azazω=ωmax=gR=0,991s11s.
A ,,mesterséges gravitáció'' akkor csökken a szokásos érték felére, ha a szögsebességet
ω=ωmin=g2R=0,701s
értékre változtatják. A szőnyegek akkor nem csúsznak el a padlón, ha a tapadási súrlódási erő legnagyobb értéke elegendő a szőnyegek lassításához:
mR|β|μmRω2,
azaz az állandónak feltételezett szöggyorsulás nagysága
|β|μωmin2=μg2R=0,051s2.
(A szőnyegek megcsúszása szempontjából a legkisebb szögsebesség elérésének pillanata, vagyis a fékezés legvége a kritikus.) A fékezés ideje
T=ωmax-ωmin|β|5,9s.  

Ha nem ragaszkodunk az egyenletes lassításhoz, akkor kezdetben ‐ amikor a szögsebesség még nagy ‐ erősebben fékezhetjük a tornatermet, s csak később, fokozatosan kell a szöggyorsulás nagyságát lecsökkentenünk. Ezzel a fékezés ideje nyilván lerövidíthető. Ha minden pillanatban éppen olyan ütemben csökkentjük a forgás szögsebességét, hogy a szőnyegek a megcsúszás határán legyenek, akkor a ,,szöglassulás'' |β|=-ΔωΔt=μω2, ahol ω a pillanatnyi szögsebesség (ωmaxωωmin). Osszuk fel gondolatban a kezdeti és a végső szögsebesség különbségét n egyenlő részre, és számítsuk ki, hogy az egyes szögsebesség-intervallumokon a ,,megengedett'' legnagyobb fékezéssel számolva összesen mennyi időre van szükségünk a fékezéshez! Az i-edik intervallumban |βi|=μωi2-tel számolva
T=i=1nΔti=1μi=1nωi+1-ωiωi2ωminωmax1ω2dω=1μ(1ωmin-1ωmax)=4,2s.

A fenti képletből az is leolvasható, hogy az ωmin=0 esetnek megfelelő teljes súlytalanság véges hosszú fékezési idő alatt nem érhető el!
(Sepsi Örs (Debreceni Ref. Koll. Gimnáziuma, 12. o.t.)
dolgozata alapján

 
Megjegyzések. 1. A leggyorsabb megcsúszásmentes fékezés feltétele (vagyis hogy a szögsebesség idő szerinti deriváltja arányos a szögsebesség négyzetével) az ω(t) függvényre nézve egy differenciálegyenlet. Ennek megoldása módszeresen is meghatározható, de találgatással (pl. hatványfüggvények körében keresve) is megkapható. A megoldás: ω(t)=1/(μt), ha az időt nem a lassítás megkezdésének pillanatától, hanem egy korábbi (a kezdeti szögsebesség által megszabott) időponttól mérjük. Látható, hogy a szögsebesség ilyen feltételek mellett soha nem csökken nullára, de tetszőlegesen megközelítheti a tökéletes súlytalanságnak megfelelő állapotot.
2. A feladatban szereplő űrtornateremnek még egyenletes forgás esetén is kellemetlen ,,mellékhatásai'' lehetnek. Ha a tornaterem a földi g-nek megfelelő szögsebességgel forog, akkor a kerületi sebessége kb. 10 m/s. Ha valaki magasugróversenyt rendez ebben az űrtornateremben, akkor tanácsos, hogy a nekifutó pályát a henger egyik alkotója mentén, vagyis a forgástengellyel párhuzamosan jelölje ki. Ellenkező esetben az eredmények nem lennének hitelesek, ugyanis a hengerpalást belső felületén (a forgástengelyre merőleges irányban) ,,körbefutva'' jelentős súlycsökkenést (vagy éppen súlynövekedést) lehetne elérni. Ha pl. a forgásiránnyal szemben haladva 6 m/s sebességgel sprintelünk (erre még egy átlagember is képes), a sebességünk az inerciarendszerhez képest 4 m/s-ra, a ,,nehézségi gyorsulás'' pedig 1,6m/s2-re csökken. Egy jó sportoló jól tapadó cipőben, megfelelő technikával elvileg még a teljes súlytalanság elérésére is képes!
(Sótér Anna (Székesfehérvár, Ciszterci Szent István Gimn., 11. o.t.)