Kezdőlap


Feladat:	2002. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2002/november, 492 - 493. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elektromágneses hullámok visszaverődése, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/október: 2002. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A hullám $v$ fázissebességét (az azonos fázisú helyzetek haladási sebességét) az

\begin{matrix} ω t - β z = állandó, azaz ω Δ t - β Δ z = 0 \end{matrix}

összefüggés határozza meg. Innen

\begin{matrix} v = \frac{Δ z}{Δ t} = \frac{ω}{β} = \frac{1}{\sqrt[]{\frac{μ ε}{2} (\sqrt[]{1 + \frac{σ^{2}}{ε^{2} ω^{2}}} + 1)}} \approx \frac{1}{\sqrt[]{μ ε}} . \end{matrix}

Megjegyzések. (i) A fentebb kiszámított fázissebesség ‐ az adott közelítésben ‐ független a hullám frekvenciájától, és alakilag a fény terjedési sebességével egyezik meg. (Természetesen a látható fény frekvenciatartományában a képlet nem érvényes.)
(ii) A radarhullámok nem végtelen síkhullámok, hanem térben és időben korlátozott kiterjedésű hullám-vonulatok (hullámcsomagok). Ezek terjedését nem a fázissebesség, hanem az ún. csoportsebesség jellemzi, amely a

β (ω)

függvény differenciálhányadosának reciproka, és a nagysága általában különbözik a fázissebességtől. Amennyiben

β

arányos

ω

-val (a feladatban használható közelítésben ez teljesül), a kétféle sebesség megegyezik.

2. A földbe hatoló hullámok érzékelhetőségi távolságára jellemző ,,behatolási mélység'' (vagyis az a mélység, ahol a hullám amplitúdója a felszíni érték

1 / e \approx 0, 37

-szerese) az

α

a csillapodási együttható reciproka:

\begin{matrix} δ = \frac{1}{α} = \frac{1}{ω \sqrt[]{\frac{μ ε}{2} (\sqrt[]{1 + \frac{σ^{2}}{ε^{2} ω^{2}}} - 1)}} \approx \frac{1}{ω \sqrt[]{\frac{μ ε}{2} [(1 + \frac{σ^{2}}{2 ε^{2} ω^{2}}) - 1]}} = \frac{2}{σ} \sqrt[]{\frac{ε}{μ}} \approx 16 m. \end{matrix}

1. ábra

3. A rudakról visszaverődő hullámok fáziskülönbsége akkor lesz

180^{\circ}

, ha az egyik rúd és a műszer távolsága éppen egy negyed hullámhossznyival nagyobb, mint a másik rúd és a műszer távolsága. Az 1. ábrán látható helyzetben tehát fennáll

\begin{matrix} r^{2} + d^{2} = {(d + \frac{λ}{4})}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

λ^{2} + 4 λ d - 4 r^{2} = 0

, melynek megoldása

λ = 12, 5

cm.
A hullám terjedési sebessége a megadott számadatokból

v = 1, 0 \cdot 10^{10}

cm/s, a kérdéses frekvencia tehát

\begin{matrix} f_{{min}_{}^{}} = \frac{v}{λ} = 800 MHz . \end{matrix}

4. Ha a detektor a rúdhoz legközelebbi helyzettől

x

távolságra van, akkor a radarimpulzusok visszaérkezési ideje a

d

mélységben fekvő rúdról

\begin{matrix} t (x) = 2 \frac{\sqrt[]{d^{2} + x^{2}}}{v} \geq t_{{min}_{}^{}} = \frac{2 d}{v} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} d = \frac{v t_{{min}_{}^{}}}{2} = 5 m . \end{matrix}