Feladat: B.3617 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Bartha Ferenc ,  Békéssy Herman András ,  Bérczi Kristóf ,  Bereczki Péter ,  Boros Balázs ,  Czank Tamás ,  Füredi Mihály ,  Garab Ábel ,  Hubai Tamás ,  Jankó Zsuzsanna ,  Kiss-Tóth Christián ,  Koltai Péter ,  Pálinkás Csaba ,  Pongrácz András ,  Reiss Tibor ,  Ruppert László Gábor ,  Salát Máté ,  Seres Gyula ,  Simon Balázs ,  Szalai Attila ,  Szilágyi Csab ,  Torma Róbert 
Füzet: 2003/december, 550 - 552. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/február: B.3617

A t paraméter milyen értékeire van az
x+y+z+v=0,(xy+yz+zv)+t(xz+xv+yv)=0
egyenletrendszernek pontosan egy megoldása?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Fejezzük ki az első egyenletből z-t, helyettesítsük a második egyenletbe és rendezzünk v hatványai szerint:

v2+(x+2y-ty)v+(y2+tx2+txy)=0.(3)
A feladat egyenletrendszerének pontosan akkor van egy megoldása, ha a (3) egyenletnek egy megoldása van. Ez utóbbinak minden t-re megoldása (x,y,v)=(0,0,0), a (3) egyenletnek tehát pontosan akkor van egy megoldása, ha bármely (x,y)(0,0) számpár esetén a v-re adódó másodfokú egyenletnek nincsen megoldása, a diszkriminánsa negatív:
D=(x+2y-ty)2-4(y2+tx2+txy)=(4)=(1-4t)x2+2(2-3t)xy+t(t-4)y2<0.
Ha y=0, akkor (4) akkor és csak akkor teljesül minden (x,y)(0,0) esetén, ha 1-4t<0, azaz
14<t.
Ha y0, akkor y2>0-val osztva a (4)-gyel ekvivalens
(1-4t)x2y2+2(2-3t)xy+t(t-4)<0
feltételt kapjuk, ami pontosan akkor teljesül, ha ennek az xy-ra nézve másodfokú kifejezésnek a főegyütthatója is és a diszkriminánsa is negatív:
1-4t<0és4(2-3t)2-4(1-4t)t(t-4)=16(t+1)(t2-3t+1)<0.
Mivel
t2-3t+1=(t-3-52)(t-3+52)és14<3-52,
a t-re talált feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha
3-52<t<3+52.

A t-nek ezekre az értékeire az y=0 esetben is csak a triviális megoldást kapjuk, azért a feladat egyenletrendszerének pontosan akkor van egy megoldása, ha
3-52<t<3+52.
 
(Salát Máté (Budapest, Berzsenyi Dániel Gimn., 12. évf.)

 
II. megoldás. Az egyenletrendszernek minden t-re megoldása x=y=z=v=0, így a t paraméternek azokat az értékeit keressük, amikor más megoldás nincsen. Keressünk (1,p,-p,-1) alakú nem triviális megoldást. A (2) egyenletből ekkor p2+2(t-1)p+t=0 adódik, ennek a másodfokú egyenletnek pedig pontosan akkor van megoldása, ha a diszkriminánsa, 4(t-1)2-4t nem negatív, azaz
t3-52vagy3+52t.

Megmutatjuk, hogy minden más esetben, azaz ha 3-52<t<3+52, akkor az egyenletrendszernek csak a triviális megoldása van, (1)-ből és (2)-ből következik, hogy x=y=z=v=0.
A bizonyításhoz szükségünk lesz a t1 kiegészítő föltevésre. (Ha t>1, akkor (2)-t 1t-vel szorozva hasonlóan okoskodhatunk.)
(2) bal oldalát átalakíthatjuk, ha (1)-et négyzetre emeljük:
(xy+yz+zv)+t(xz+xv+yv)=-12(x2+y2+z2+v2+2(1-t)(xz+xv+yv)),
így (2) az
A=x2+y2+z2+v2+2s(xz+xv+yv)=0,
alakba írható, ahol s=1-t. Írjuk ezt az összeget a következő módon:
A=(sx+z)2+s(x+v)2+(y+sv)2+(1-s2-s)(x2+v2)=0.(5)

A t-re vonatkozó 3-52<t<3+52 feltétel az s változóra azt jelenti, hogy
-1-52<s<-1+52,azazs2+s<1,
másrészt t1 miatt s0.
Az A összeg (5) alakjában tehát egyik tag sem negatív, így ha az összeg 0, akkor minden tagja 0. Az utolsó tagban 1-s2-s>0, azért x2+v2=0, azaz x=v=0. Ekkor pedig sx+z=y+sv=0 miatt y=z=0 is teljesül. Beláttuk tehát, hogy ha 3-52<t<3+52, akkor a feladat egyenletrendszerének nincs a triviálistól különböző megoldása.