Kezdőlap


Feladat:	B.3606	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bérczi Kristóf
Füzet:	2003/november, 486 - 487. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Racionális számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/január: B.3606

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Igazából számológéppel sem hosszú idő megfelelő $a$ és $b$ értékeket találnunk, de időt nyerhetünk, ha megvizsgáljuk a $\sqrt[]{2}$ számot néhány tizedesjegy erejéig. A feladat nyilván az, hogy olyan $b$ egész számot keressünk, melyre $b \sqrt[]{2}$ törtrésze kisebb 0,01-nál.
Közelítőleg: $\sqrt[]{2} \approx 1, 4142136$ , a tizedek és az ezredek helyén is 4-es számjegy áll. Ez adja az ötletet, hogy megvizsgáljuk a $100 \sqrt[]{2} - \sqrt[]{2}$ különbséget, mivel abban reménykedünk, hogy a különbségben a tizedesvessző után legalább két 0 következik.
Valóban: $100 \sqrt[]{2} - \sqrt[]{2} \approx 140, 0071427$ , azaz $b = 99$ esetén $0 < {b \sqrt[]{2}} < 0, 01$ teljesül. Már csak a megfelelő $a$ számot keressük, ilyet $b$ ismeretében könnyen találhatunk: $a = 1863$ .
Az $a = 1863$ és a $b = 99$ számok megfelelnek:

\begin{matrix} 2003 < 1863 + 99 \sqrt[]{2} (\approx 2003, 007) < 2003, 01. \end{matrix}

() Bérczi Kristóf (Szeged, SZTE Ságvári Endre Gyakorló Gimnázium, 12. évf.)

II. megoldás. Ellenőrizhető, hogy

0 < \sqrt[]{2} - 1 < \frac{1}{2}

, amiből

\begin{matrix} \begin{matrix} 0 < 3 - 2 \sqrt[]{2} & = & {(\sqrt[]{2} - 1)}^{2} < \frac{1}{4}, \\ 0 < 17 - 12 \sqrt[]{2} & = & {(3 - 2 \sqrt[]{2})}^{2} < \frac{1}{16} < \frac{1}{10} \\ 0 < 577 - 408 \sqrt[]{2} & = & {(17 - 12 \sqrt[]{2})}^{2} < \frac{1}{100}, \end{matrix} \end{matrix}

ahonnan

2003 < 2580 - 408 \sqrt[]{2} < 2003, 01

. Tehát pl.

a = 2580

b = - 408

megfelelő.