Feladat: B.3606 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bérczi Kristóf 
Füzet: 2003/november, 486 - 487. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Racionális számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/január: B.3606

Adjunk meg olyan a és b egész számokat, amelyekre teljesül, hogy 2003<a+b2<2003,01.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Igazából számológéppel sem hosszú idő megfelelő a és b értékeket találnunk, de időt nyerhetünk, ha megvizsgáljuk a 2 számot néhány tizedesjegy erejéig. A feladat nyilván az, hogy olyan b egész számot keressünk, melyre b2 törtrésze kisebb 0,01-nál.
Közelítőleg: 21,4142136, a tizedek és az ezredek helyén is 4-es számjegy áll. Ez adja az ötletet, hogy megvizsgáljuk a 1002-2 különbséget, mivel abban reménykedünk, hogy a különbségben a tizedesvessző után legalább két 0 következik.
Valóban: 1002-2140,0071427, azaz b=99 esetén 0<{b2}<0,01 teljesül. Már csak a megfelelő a számot keressük, ilyet b ismeretében könnyen találhatunk: a=1863.
Az a=1863 és a b=99 számok megfelelnek:

2003<1863+992(2003,007)<2003,01.

(Bérczi Kristóf (Szeged, SZTE Ságvári Endre Gyakorló Gimnázium, 12. évf.)

 
II. megoldás. Ellenőrizhető, hogy 0<2-1<12, amiből
0<3-22=(2-1)2<14,0<17-122=(3-22)2<116<1100<577-4082=(17-122)2<1100,
ahonnan 2003<2580-4082<2003,01. Tehát pl. a=2580, b=-408 megfelelő.