Kezdőlap


Feladat:	B.3605	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Poronyi Balázs
Füzet:	2003/november, 486. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Szögfelező egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/január: B.3605

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek az $A B C$ háromszög oldalai a szokásos jelölésekkel $a$ , $b$ és $c$ , $C$ -nél lévő szöge pedig $γ$ . Ekkor a háromszög területe $T = a b \cdot \frac{sin γ}{2}$ .

A szögfelezőtétel alapján

C A_{1} = \frac{a b}{b + c}

és

C B_{1} = \frac{b a}{a + c}

, vagyis az

A_{1} C B_{1}

háromszög területe

\begin{matrix} T_{1} = \frac{{(a b)}^{2}}{(a + c) (b + c)} \cdot \frac{sin γ}{2} . \end{matrix}

Mivel

C D = b + c

és

C E = a + c

, a

D C E

háromszög területe

\begin{matrix} T_{2} = (a + c) (b + c) \cdot \frac{sin γ}{2} . \end{matrix}

Ezekből adódik, hogy

T^{2} = T_{1} T_{2}

, vagyis

T = \sqrt[]{9 \cdot 4} = 6

területegység.

() Poronyi Balázs (Pécs, Janus Pannonius Gimnázium, 10. évf.) dolgozata alapján