Feladat: B.3605 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Poronyi Balázs 
Füzet: 2003/november, 486. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszög területe, Szögfelező egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/január: B.3605

Az ABC háromszög CA oldalának A-n túli meghosszabbításán adott a D pont, a CB oldalának B-n túli meghosszabbításán pedig az E pont úgy, hogy AB=AD=BE. Az ABC háromszög A-ból és B-ből induló szögfelezői a szemközti oldalakat az A1 illetve a B1 pontokban metszik. Mekkora az ABC háromszög területe, ha a DCE háromszög területe 9 egység, az A1CB1 háromszög területe pedig 4 egység?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek az ABC háromszög oldalai a szokásos jelölésekkel a, b és c, C-nél lévő szöge pedig γ. Ekkor a háromszög területe T=absinγ2.

 
 

A szögfelezőtétel alapján CA1=abb+c és CB1=baa+c, vagyis az A1CB1 háromszög területe
T1=(ab)2(a+c)(b+c)sinγ2.
Mivel CD=b+c és CE=a+c, a DCE háromszög területe
T2=(a+c)(b+c)sinγ2.
Ezekből adódik, hogy T2=T1T2, vagyis T=94=6 területegység.
(Poronyi Balázs (Pécs, Janus Pannonius Gimnázium, 10. évf.) dolgozata alapján