Kezdőlap


Feladat:	C.698	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Juhász Anikó
Füzet:	2003/november, 481 - 482. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: C.698

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A háromszögben szokásos jelölés szerint írjuk fel az $a$ oldalra a koszinusztételt:

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos α . \end{matrix}

(1)

A koszinusztétel ismételt alkalmazásával felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot cos γ . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} . \end{matrix}

(2)

Helyettesítsük (2)-be az (1)-ből

a^{2}

-re kapott összefüggést:

\begin{matrix} cos γ = \frac{b^{2} + c^{2} + b^{2} - 2 b c \cdot cos α - c^{2}}{2 b \sqrt[]{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos α}} . \end{matrix}

Vonjunk össze és egyszerűsítsük a törtet

2 b \neq 0

-val. Kapjuk, hogy

\begin{matrix} cos γ = \frac{b - c \cdot cos α}{\sqrt[]{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos α}} . \end{matrix}

Ezután helyettesítsük be az adott értékeket és végezzük el a kijelölt műveleteket:

cos γ \approx - 0, 02346

. A koszinusz értéke negatív, vagyis a keresett szög nagyobb

90^{\circ}

-nál.

γ

visszakeresett értéke

180^{\circ} - 88, 6557^{\circ} \approx 91, 35^{\circ}

() Juhász Anikó (Eger, Gárdonyi G. Gimn., 12. évf.)

Megjegyzés. A feladatra sok hibás és hiányos dolgozat érkezett. Ha a kézenfekvőbb módon először az

a

oldal hosszát számoljuk ki a koszinusztétellel:

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos α = 5, 1^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 5, 1 \cdot 10 \cdot cos 58^{\circ}, \end{matrix}

akkor

a^{2} \approx 71, 958

és innen

a \approx 8, 48

cm. Ha ezután felírjuk a szinusztételt, akkor

\begin{matrix} sin γ = \frac{sin 58^{\circ}}{a} \cdot c . \end{matrix}

Az első meglepetés a behelyettesítés után következik: ha az

a

-ra kapott közelítőértéket behelyettesítjük, akkor

sin γ \approx 1, 000056

adódik, ez az érték nem lehetséges. Még mielőtt arra gondolnánk, hogy a háromszög nem létezik, gondoljuk meg, hogy az minden további nélkül megszerkeszthető. Máshol van a baj.
Amikor két tizedesre kerekítettük az

a

-t, akkor 8,48 kisebb a tényleges értéknél, így a szinusztétel nevezőjét csökkentve a tört és így

sin γ

értéke nőtt. A kerekítés következménye általában a végeredmény pontatlansága, de most

γ

kritikus tartományban van: megközelítőleg

90^{\circ}

, a szinusza majdnem 1, a kerekítés tehát most nem az eredmény értékét, hanem annak jellegét változtatja meg. Onnan is kiderül, hogy

sin γ

közelítőleg 1, hogy maga a háromszög közelítőleg egy félbevágott szabályos háromszög, a

C

csúcsnál körülbelül derékszög van.
Számoljunk tehát pontosabban. Négy tizedes pontossággal

a \approx 8, 4828

és ekkor már

sin γ \approx 0, 9997

.
Ha valaki eljut idáig, akkor már ,,csak'' azzal kell szembenéznie, hogy

γ

hegyesszög-e, vagy tompa. A

γ

a háromszög legnagyobb szöge, de ennél több az adatokból nem derül ki. Ennek tisztázása történhet a koszinusztétellel.