Feladat: C.698 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Juhász Anikó 
Füzet: 2003/november, 481 - 482. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: C.698

Egy háromszögben az AB oldal hossza 10cm, az AC oldal hossza 5,1cm, CAB=58. Határozzuk meg a BCA-et 1 századfok pontossággal.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A háromszögben szokásos jelölés szerint írjuk fel az a oldalra a koszinusztételt:

a2=b2+c2-2bccosα.(1)
A koszinusztétel ismételt alkalmazásával felírhatjuk, hogy
c2=a2+b2-2abcosγ.
Innen
cosγ=a2+b2-c22ab.(2)
Helyettesítsük (2)-be az (1)-ből a2-re kapott összefüggést:
cosγ=b2+c2+b2-2bccosα-c22bb2+c2-2bccosα.
Vonjunk össze és egyszerűsítsük a törtet 2b0-val. Kapjuk, hogy
cosγ=b-ccosαb2+c2-2bccosα.
Ezután helyettesítsük be az adott értékeket és végezzük el a kijelölt műveleteket: cosγ-0,02346. A koszinusz értéke negatív, vagyis a keresett szög nagyobb 90-nál. γ visszakeresett értéke 180-88,655791,35.
(Juhász Anikó (Eger, Gárdonyi G. Gimn., 12. évf.)

 
Megjegyzés. A feladatra sok hibás és hiányos dolgozat érkezett. Ha a kézenfekvőbb módon először az a oldal hosszát számoljuk ki a koszinusztétellel:
a2=b2+c2-2bccosα=5,12+102-25,110cos58,
akkor a271,958 és innen a8,48 cm. Ha ezután felírjuk a szinusztételt, akkor
sinγ=sin58ac.

Az első meglepetés a behelyettesítés után következik: ha az a-ra kapott közelítőértéket behelyettesítjük, akkor sinγ1,000056 adódik, ez az érték nem lehetséges. Még mielőtt arra gondolnánk, hogy a háromszög nem létezik, gondoljuk meg, hogy az minden további nélkül megszerkeszthető. Máshol van a baj.
Amikor két tizedesre kerekítettük az a-t, akkor 8,48 kisebb a tényleges értéknél, így a szinusztétel nevezőjét csökkentve a tört és így sinγ értéke nőtt. A kerekítés következménye általában a végeredmény pontatlansága, de most γ kritikus tartományban van: megközelítőleg 90, a szinusza majdnem 1, a kerekítés tehát most nem az eredmény értékét, hanem annak jellegét változtatja meg. Onnan is kiderül, hogy sinγ közelítőleg 1, hogy maga a háromszög közelítőleg egy félbevágott szabályos háromszög, a C csúcsnál körülbelül derékszög van.
Számoljunk tehát pontosabban. Négy tizedes pontossággal a8,4828 és ekkor már sinγ0,9997.
Ha valaki eljut idáig, akkor már ,,csak'' azzal kell szembenéznie, hogy γ hegyesszög-e, vagy tompa. A γ a háromszög legnagyobb szöge, de ennél több az adatokból nem derül ki. Ennek tisztázása történhet a koszinusztétellel.