Kezdőlap


Feladat:	C.696	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2003/november, 479 - 480. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: C.696

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az abszolút érték definícióját felhasználva írjuk át az egyenletet. Három esetet különböztetünk meg:
1) $x > 2$ . Ekkor a kiindulási egyenlet $x + 3 + p (x - 2) = 5$ , ahonnan

\begin{matrix} (1 + p) x = 2 (1 + p) . \end{matrix}

p \neq - 1

, akkor

x = 2

, ami az

x > 2

feltétel miatt nem jöhet szóba. A

p = - 1

esetben

x

bármi lehet, a megoldás tehát ekkor

x > 2

.
2)

2 \geq x \geq - 3

. Az egyenlet most

x + 3 - p (x - 2) = 5

alakot ölt, amiből

(1 - p) x = 2 (1 - p)

. Ha

p \neq 1

, akkor

x = 2

. A

p = 1

esetben

x

értéke tetszőleges, ami a feltétel miatt azt jelenti, hogy a megoldás

- 3 \leq x \leq 2

.
3) Ha

x < - 3

, az egyenlet

- x - 3 - p (x - 2) = 5

, amit átalakítva kapjuk, hogy

(1 + p) x = 2 p - 8

. A

p = - 1

esetén

0 = - 10

, ami lehetetlen. Ha

p \neq - 1

, akkor

x = \frac{2 p - 8}{1 + p}

.
Vegyük figyelembe, hogy most

x < - 3

, vagyis

\frac{2 p - 8}{1 + p} < - 3

. Rendezve az egyenlőtlenséget

\frac{5 p - 5}{p + 1} < 0

. Ehelyett nézzük az ekvivalens

\frac{p - 1}{p + 1} < 0

egyenlőtlenséget. Egy tört pontosan akkor negatív, ha számlálójának és nevezőjének szorzata negatív, vagyis esetünkben

p^{2} - 1 < 0

, ahonnan

- 1 < p < 1

adódik.
Amennyiben tehát

- 1 < p < 1

, akkor a megoldás

x = \frac{2 p - 8}{p + 1} = 2 - \frac{10}{1 + p}

. Érdemes megjegyezni, hogy ez olyan

(p; x)

párokkal megadott pontokat jelent, amelyek a

p, x

tengelyű koordinátarendszerben egy

p = - 1

és

x = 2

aszimptotájú egyenlő szárú hiperbolának az

x = - 3

egyenes alatti ágán van.
Összefoglalva:

p = - 1

esetén

x \geq 2

p = 1

esetén

- 3 \leq x \leq 2

- 1 < p < 1

és

p \neq 0

esetén

x = 2

vagy

x = \frac{2 p - 8}{p + 1}

, minden egyéb

p

esetén pedig

x = 2

a megoldás.

II. megoldás. Rendezzük át az egyenletet:

\begin{matrix} p | x - 2 | = 5 - | x + 3 | \end{matrix}

és készítsük el a bal és jobb oldalon álló kifejezések által meghatározott függvények grafikonját (1. ábra).

1. ábra

| p | > 1

, akkor leolvasható, hogy csak

x = 2

a megoldás, hiszen a jobb oldal meredeksége kisebb abszolút értékű, mint a bal oldalé (2. ábra).

2. ábra

| p | = 1

, akkor a grafikonok egy-egy szakaszon azonosak, végtelen sok megoldás van. Ha

p = 1

, akkor

x \in [- 3; 2]

, ha

p = - 1

, akkor

x \in [2; + \infty)

.
Ha

0 < | p | < 1

, akkor az

x = 2

megoldás mellett a grafikonok egy-egy megfelelő félegyenese egyetlen további pontban metszi egymást, így két megoldás van:

x \in {2; \frac{2 p - 8}{p + 1}}

(3. ábra).

3. ábra

Végül ha

p = 0

, akkor az egyenlet egyetlen megoldása a 2.