Feladat: C.696 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2003/november, 479 - 480. oldal  PDF file
Témakör(ök): Abszolútértékes egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: C.696

Oldjuk meg az
|x+3|+p|x-2|=5
egyenletet, ahol a p valós paraméter.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az abszolút érték definícióját felhasználva írjuk át az egyenletet. Három esetet különböztetünk meg:
1) x>2. Ekkor a kiindulási egyenlet x+3+p(x-2)=5, ahonnan

(1+p)x=2(1+p).
Ha p-1, akkor x=2, ami az x>2 feltétel miatt nem jöhet szóba. A p=-1 esetben x bármi lehet, a megoldás tehát ekkor x>2.
2) 2x-3. Az egyenlet most x+3-p(x-2)=5 alakot ölt, amiből (1-p)x=2(1-p). Ha p1, akkor x=2. A p=1 esetben x értéke tetszőleges, ami a feltétel miatt azt jelenti, hogy a megoldás -3x2.
3) Ha x<-3, az egyenlet -x-3-p(x-2)=5, amit átalakítva kapjuk, hogy (1+p)x=2p-8. A p=-1 esetén 0=-10, ami lehetetlen. Ha p-1, akkor x=2p-81+p.
Vegyük figyelembe, hogy most x<-3, vagyis 2p-81+p<-3. Rendezve az egyenlőtlenséget 5p-5p+1<0. Ehelyett nézzük az ekvivalens p-1p+1<0 egyenlőtlenséget. Egy tört pontosan akkor negatív, ha számlálójának és nevezőjének szorzata negatív, vagyis esetünkben p2-1<0, ahonnan -1<p<1 adódik.
Amennyiben tehát -1<p<1, akkor a megoldás x=2p-8p+1=2-101+p. Érdemes megjegyezni, hogy ez olyan (p;x) párokkal megadott pontokat jelent, amelyek a p,x tengelyű koordinátarendszerben egy p=-1 és x=2 aszimptotájú egyenlő szárú hiperbolának az x=-3 egyenes alatti ágán van.
Összefoglalva: p=-1 esetén x2, p=1 esetén -3x2, -1<p<1 és p0 esetén x=2 vagy x=2p-8p+1, minden egyéb p esetén pedig x=2 a megoldás.
 
II. megoldás. Rendezzük át az egyenletet:
p|x-2|=5-|x+3|
és készítsük el a bal és jobb oldalon álló kifejezések által meghatározott függvények grafikonját (1. ábra).
 
 

1. ábra
 

Ha |p|>1, akkor leolvasható, hogy csak x=2 a megoldás, hiszen a jobb oldal meredeksége kisebb abszolút értékű, mint a bal oldalé (2. ábra).
 
 

2. ábra
 

Ha |p|=1, akkor a grafikonok egy-egy szakaszon azonosak, végtelen sok megoldás van. Ha p=1, akkor x[-3;2], ha p=-1, akkor x[2;+).
Ha 0<|p|<1, akkor az x=2 megoldás mellett a grafikonok egy-egy megfelelő félegyenese egyetlen további pontban metszi egymást, így két megoldás van: x{2;2p-8p+1} (3. ábra).
 
 

3. ábra
 

Végül ha p=0, akkor az egyenlet egyetlen megoldása a 2.