Kezdőlap

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az

\begin{matrix} N = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 1001 + 1002 \cdot 1003 \cdot ... \cdot 2002 \end{matrix}

összeg második tagjában szereplő tényezőket alakítsuk át a következőképpen:

\begin{matrix} \begin{matrix} 1002 & = & 2003 - 1001 \\ 1003 & = & 2003 - 1000 \\ ⋮ \\ 2002 & = & 2003 - 1. \end{matrix} \end{matrix}

A szorzásokat elvégezve a tagok egy részében tényezőként szerepel a 2003, így ezek összege osztható 2003-mal.
A maradék pedig a

(- 1001) \cdot (- 1000) \cdot (- 999) \cdot ... \cdot (- 1)

számok szorzata. Mivel páratlan sok tényező szerepel, a szorzat előjele negatív, értéke pedig megegyezik az

N

első tagjában szereplő szorzat értékével, így összegük 0.

N

tehát valóban osztható 2003-mal.

() Nagy Zoltán (Szolnok, Varga Katalin Gimn., 9. évf.)

Megjegyzés. Bartha Emőke (Szentendre, Református Gimn., 10. évf.) észrevette, hogy általában tetszőleges

n

páratlan pozitív számra

2 n + 1

osztója az

\begin{matrix} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n + (n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3) \cdot ... \cdot 2 n \end{matrix}

összegnek.