Feladat: C.701 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bartha Emőke ,  Nagy Zoltán 
Füzet: 2003/október, 409 - 410. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatóság, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/január: C.701

Mutassuk meg, hogy 12...1001+10021003...2002 osztható 2003-mal.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az

N=12...1001+10021003...2002
összeg második tagjában szereplő tényezőket alakítsuk át a következőképpen:
1002=2003-10011003=2003-10002002=2003-1.
A szorzásokat elvégezve a tagok egy részében tényezőként szerepel a 2003, így ezek összege osztható 2003-mal.
A maradék pedig a (-1001)(-1000)(-999)...(-1) számok szorzata. Mivel páratlan sok tényező szerepel, a szorzat előjele negatív, értéke pedig megegyezik az N első tagjában szereplő szorzat értékével, így összegük 0. N tehát valóban osztható 2003-mal.
(Nagy Zoltán (Szolnok, Varga Katalin Gimn., 9. évf.)

 
Megjegyzés. Bartha Emőke (Szentendre, Református Gimn., 10. évf.) észrevette, hogy általában tetszőleges n páratlan pozitív számra 2n+1 osztója az
123...n+(n+1)(n+2)(n+3)...2n
összegnek.