Kezdőlap


Feladat:	A.307	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bóka Gergely , Csóka Endre , Hablicsek Márton , Kiss Demeter , Kocsis Albert Tihamér , Kórus Péter , Kunszenti-Kovács Dávid , Nagy Zoltán , Pach Péter Pál , Rácz Béla András , Simon Balázs
Füzet:	2003/május, 294 - 295. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Binomiális tétel, Egységgyökök, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: A.307

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $ε_{1}$ és $ε_{2}$ az $x^{2} + x + 1$ polinom két komplex gyöke; ezek nem mások, mint az $1$ -től különböző harmadik egységgyökök. A polinom gyöktényezős alakja $(x - ε_{1}) (x - ε_{2})$ , ezért a binomiális tétel alapján

\begin{matrix} \begin{matrix} {(x^{2} + x + 1)}^{p} = {(x - ε_{1})}^{p} {(x - ε_{2})}^{p} = \\ = (\sum_{k = 0}^{p} {(- 1)}^{k} (\binom{p}{k}) ε_{1}^{k} x^{p - k}) (\sum_{k = 0}^{p} {(- 1)}^{k} (\binom{p}{k}) ε_{2}^{k} x^{p - k}) . \end{matrix} \end{matrix}

A polinomban az

x^{p}

együtthatója:

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{p} & = \sum_{k = 0}^{p} {(- 1)}^{k} (\binom{p}{k}) ε_{1}^{k} \cdot {(- 1)}^{p - k} (\binom{p}{p - k}) ε_{2}^{p - k} = - \sum_{k = 0}^{(p - 1) / 2} {(\binom{p}{k})}^{2} (ε_{1}^{p - 2 k} + ε_{2}^{p - 2 k}) = \\ = - (ε_{1}^{p} + ε_{2}^{p}) - \sum_{k = 1}^{(p - 1) / 2} {(\binom{p}{k})}^{2} (ε_{1}^{p - 2 k} + ε_{2}^{p - 2 k}) . \end{matrix} \end{matrix}

Tetszőleges

u

egész számra

ε_{1}^{u} + ε_{2}^{u} = 2

, ha

u

osztható

3

-mal, és

ε_{1}^{u} + ε_{2}^{u} = - 1

, ha

u

nem osztható

3

-mal. Mivel

p

nem osztható

3

-mal,

ε_{1}^{p} + ε_{2}^{p} = - 1

. A

(\binom{p}{k})

binomiális együttható pedig

0 < k < p

esetén mindig osztható

p

-vel. Ezért

a_{p} \equiv - (ε_{1}^{p} + ε_{2}^{p}) = 1 (mod p^{2})

() Több dolgozat alapján