Feladat: A.307 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bóka Gergely ,  Csóka Endre ,  Hablicsek Márton ,  Kiss Demeter ,  Kocsis Albert Tihamér ,  Kórus Péter ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Nagy Zoltán ,  Pach Péter Pál ,  Rácz Béla András ,  Simon Balázs 
Füzet: 2003/május, 294 - 295. oldal  PDF file
Témakör(ök): Polinomok szorzattá alakítása, Binomiális tétel, Egységgyökök, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: A.307

Jelöljük an-nel az (x2+x+1)n polinomban az xn együtthatóját. Igazoljuk, hogy tetszőleges p>3 prímszám esetén ap1(modp2).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen ε1 és ε2 az x2+x+1 polinom két komplex gyöke; ezek nem mások, mint az 1-től különböző harmadik egységgyökök. A polinom gyöktényezős alakja (x-ε1)(x-ε2), ezért a binomiális tétel alapján

(x2+x+1)p=(x-ε1)p(x-ε2)p==(k=0p(-1)k(pk)ε1kxp-k)(k=0p(-1)k(pk)ε2kxp-k).

A polinomban az xp együtthatója:
ap=k=0p(-1)k(pk)ε1k(-1)p-k(pp-k)ε2p-k=-k=0(p-1)/2(pk)2(ε1p-2k+ε2p-2k)==-(ε1p+ε2p)-k=1(p-1)/2(pk)2(ε1p-2k+ε2p-2k).

Tetszőleges u egész számra ε1u+ε2u=2, ha u osztható 3-mal, és ε1u+ε2u=-1, ha u nem osztható 3-mal. Mivel p nem osztható 3-mal, ε1p+ε2p=-1. A (pk) binomiális együttható pedig 0<k<p esetén mindig osztható p-vel. Ezért ap-(ε1p+ε2p)=1(modp2).
(Több dolgozat alapján