A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az egész számokat 1-től -ig egyesével leírva a leírt számjegyek számát jelöljük -nel, a leírt nullák számát pedig -nel. Ezzel a jelöléssel a feladat állítása: . Jelölje továbbá tetszőleges pozitív egész szám esetén a pontosan jegyből álló pozitív egész számok számjegyeinek a számát, illetve a közöttük előforduló nullák számát. Mivel 1-től -ig leírva az egész számokat, az összes 1-jegyű, 2-jegyű, , -jegyű pozitív egész számot és végül magát a -t írjuk le, azért | | (1) | Bn=b1+b2+...+bn+n (a 10n-ben n db 0 található), azaz | Bn+1=b1+b2+...+bn+1+n+1 | (2) | Tudjuk, hogy a1=9. Tetszőleges k≥2 esetén a pontosan k számjegyből álló pozitív egész számokban az első számjegy 9-féle lehet (0 nem lehet), a többi pedig egymástól függetlenül 10-féle, azaz ak=9⋅10k-1⋅k. Nyilván b1=0. Tetszőleges k≥2 esetén a pontosan k számjegyből álló számokban a 0-kat helyiértékenként számlálhatjuk meg: az első számjegy nem lehet 0, azaz a második számjegytől az utolsóig valamelyiket kiválasztva (ez (k-1)-féleképpen tehető meg) és azt 0-nak tekintve az első számjegy 9-féle lehet, az első és a kiválasztott kivételével a többi pedig 10-féle egymástól függetlenül, azaz bk=(k-1)⋅9⋅10k-2. Ezzel azt kaptuk, hogy tetszőleges k pozitív egész szám esetén ak=bk+1; mivel b1=0, az (1) és a (2) alapján An=Bn+1 is teljesül.
() Filus Tamás (Szeged, Radnóti Miklós Kísérleti Gimn., 10. évf.) |
II. megoldás. Egészítsünk ki minden számot ‐ a 10n kivételével ‐ n-jegyűre úgy, hogy az elejére 0-kat írunk. Eközben összesen x db 0-t írunk le. Ekkor a leírt számjegyek száma is összesen x-szel nő. Elegendő megmutatnunk, hogy A+x=B+x. Egy (esetleg kiegészített) n-jegyű szám leírásához n db számjegy szükséges, tehát 10n-1 db n-jegyű szám leírásához 10n-1⋅n számjegyet kell leírni: A+x=10n-1⋅n. A 10n leírásához n db 0-t kell leírni, ami ugyanannyi, mintha a 0-t írnánk fel n-jegyű számként. Ha pedig 0-tól (10n-1)-ig felírunk minden számot és kiegészítjük n-jegyűvé úgy, hogy 0-kat írunk az elejére, akkor minden számjegyet minden helyiértéken ugyanannyiszor írunk le, tehát összesen is ugyanannyiszor írunk le minden számjegyet; ezért a leírt 0-k száma az összes leírt számjegy számának egytizede. Egy n-jegyű szám leírásához n db számjegy szükséges, így 10n db n-jegyű szám (0-tól 10n-1-ig) leírásához 10n⋅n db számjegyet használunk föl. A korábban leírtak miatt az így leírt számjegyek egytizede 0, tehát a leírt 0-k száma 10n⋅n10=10n-1⋅n, vagyis B+x=10n-1⋅n=A+x.
() Nagy Ákos (Budapest, Szent István Gimn., 10. évf.) |
|