Feladat: B.3584 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Filus Tamás ,  Nagy Ákos 
Füzet: 2003/május, 283 - 284. oldal  PDF file
Témakör(ök): Természetes számok, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/november: B.3584

Írjuk le az egész számokat egyesével 1-től 10n-1-ig, és legyen az eközben leírt számjegyek száma A. Ezek után ismét írjuk le az egész számokat egyesével, ezúttal 1-től 10n-ig, és legyen az így leírt nullák száma B. Bizonyítsuk be, hogy A=B.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az egész számokat 1-től 10n-ig egyesével leírva a leírt számjegyek számát jelöljük An-nel, a leírt nullák számát pedig Bn-nel. Ezzel a jelöléssel a feladat állítása: An=Bn+1. Jelölje továbbá tetszőleges k pozitív egész szám esetén ak a pontosan k jegyből álló pozitív egész számok számjegyeinek a számát, illetve bk a közöttük előforduló nullák számát. Mivel 1-től 10n-ig leírva az egész számokat, az összes 1-jegyű, 2-jegyű, ..., n-jegyű pozitív egész számot és végül magát a 10n-t írjuk le, azért

An=a1+a2+...+an+n+1(a  10n   n+1  jegyből áll),(1)
Bn=b1+b2+...+bn+n (a 10n-ben n db 0 található), azaz
Bn+1=b1+b2+...+bn+1+n+1(2)
Tudjuk, hogy a1=9. Tetszőleges k2 esetén a pontosan k számjegyből álló pozitív egész számokban az első számjegy 9-féle lehet (0 nem lehet), a többi pedig egymástól függetlenül 10-féle, azaz ak=910k-1k.
Nyilván b1=0. Tetszőleges k2 esetén a pontosan k számjegyből álló számokban a 0-kat helyiértékenként számlálhatjuk meg: az első számjegy nem lehet 0, azaz a második számjegytől az utolsóig valamelyiket kiválasztva (ez (k-1)-féleképpen tehető meg) és azt 0-nak tekintve az első számjegy 9-féle lehet, az első és a kiválasztott kivételével a többi pedig 10-féle egymástól függetlenül, azaz bk=(k-1)910k-2.
Ezzel azt kaptuk, hogy tetszőleges k pozitív egész szám esetén ak=bk+1; mivel b1=0, az (1) és a (2) alapján An=Bn+1 is teljesül.
(Filus Tamás (Szeged, Radnóti Miklós Kísérleti Gimn., 10. évf.)

 
II. megoldás. Egészítsünk ki minden számot ‐ a 10n kivételével ‐ n-jegyűre úgy, hogy az elejére 0-kat írunk. Eközben összesen x db 0-t írunk le. Ekkor a leírt számjegyek száma is összesen x-szel nő. Elegendő megmutatnunk, hogy A+x=B+x.
Egy (esetleg kiegészített) n-jegyű szám leírásához n db számjegy szükséges, tehát 10n-1 db n-jegyű szám leírásához 10n-1n számjegyet kell leírni: A+x=10n-1n.
A 10n leírásához n db 0-t kell leírni, ami ugyanannyi, mintha a 0-t írnánk fel n-jegyű számként. Ha pedig 0-tól (10n-1)-ig felírunk minden számot és kiegészítjük n-jegyűvé úgy, hogy 0-kat írunk az elejére, akkor minden számjegyet minden helyiértéken ugyanannyiszor írunk le, tehát összesen is ugyanannyiszor írunk le minden számjegyet; ezért a leírt 0-k száma az összes leírt számjegy számának egytizede. Egy n-jegyű szám leírásához n db számjegy szükséges, így 10n db n-jegyű szám (0-tól 10n-1-ig) leírásához 10nn db számjegyet használunk föl. A korábban leírtak miatt az így leírt számjegyek egytizede 0, tehát a leírt 0-k száma 10nn10=10n-1n, vagyis B+x=10n-1n=A+x.
(Nagy Ákos (Budapest, Szent István Gimn., 10. évf.)