Kezdőlap


Feladat:	C.694	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Árvay Zsófia , Ásványi Vera , Békési István , Bendefy Zsófia , Berczédi Balázs , Bors Eszter , Csató László , Daróczy László , Dombi Péter , Dori Gergő , Horváth Petra , Huszár Ferenc , Huszár Zsófia , Kocsis István , Komáromy Dávid , Kovács Gábor , Meszéna Balázs , Metzing András , Mezei Márk , Ollár Mariann , Pintér Gergő , Szabó Balázs , Szöllősi Ferenc , Tar Péter , Tóth Ádám , Török Zoltán Bálint , Varga Róbert , Vincze János
Füzet:	2003/május, 274. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Logaritmusos függvények, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/november: C.694

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A logaritmus definíciójából adódik, hogy

\begin{matrix} log_{2} 1 = 0, log_{2} 2 = 1, log_{2} 4 = 2, \end{matrix}

és így tovább, a következő egész értéket a függvény mindig a következő 2-hatvány helyen veszi fel. Azt is tudjuk, hogy a

log_{2} x

függvény monoton nő. A

[log_{2} x]

függvény két 2-hatvány között annyiszor veszi fel a kisebbik értéket, ahány egész szám van a két 2-hatvány között; pl. a 2 értéket a

log_{2} 4

log_{2} 5

log_{2} 6

log_{2} 7

helyen.
Az összegezést addig kell folytatnunk, amíg elérjük a 2002 értéket. Mivel

2^{10} = 1024 < 2002

, de

2^{11} = 2048 > 2002

, az utolsó érték a 10 lesz, amelyet

2003 - 1024 = 979

helyen vesz fel a függvény.
Így a keresett összeg értéke:

\begin{matrix} \begin{matrix} (0 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + ... + 512 \cdot 9) + 979 \cdot 10 = \\ = & (\sum_{k = 1}^{9} k \cdot 2^{k}) + 9790 = (\sum_{k = 1}^{9} 2^{k}) + (\sum_{k = 2}^{9} 2^{k}) + ... + (\sum_{k = 9}^{9} 2^{k}) + 9790 = \\ = & (2^{10} - 2) + (2^{10} - 2^{2}) + ... + (2^{10} - 2^{9}) + 9790 = \\ = & 9 \cdot 2^{10} - (2^{10} - 2) + 9790 = 2^{13} + 9792 = 17 984. \end{matrix} \end{matrix}