Feladat: C.694 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Árvay Zsófia ,  Ásványi Vera ,  Békési István ,  Bendefy Zsófia ,  Berczédi Balázs ,  Bors Eszter ,  Csató László ,  Daróczy László ,  Dombi Péter ,  Dori Gergő ,  Horváth Petra ,  Huszár Ferenc ,  Huszár Zsófia ,  Kocsis István ,  Komáromy Dávid ,  Kovács Gábor ,  Meszéna Balázs ,  Metzing András ,  Mezei Márk ,  Ollár Mariann ,  Pintér Gergő ,  Szabó Balázs ,  Szöllősi Ferenc ,  Tar Péter ,  Tóth Ádám ,  Török Zoltán Bálint ,  Varga Róbert ,  Vincze János 
Füzet: 2003/május, 274. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egészrész, törtrész függvények, Logaritmusos függvények, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/november: C.694

Mekkora az [log21]+[log22]+[log23]++[log22002] összeg értéke?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A logaritmus definíciójából adódik, hogy

log21=0,log22=1,log24=2,
és így tovább, a következő egész értéket a függvény mindig a következő 2-hatvány helyen veszi fel. Azt is tudjuk, hogy a log2x függvény monoton nő. A [log2x] függvény két 2-hatvány között annyiszor veszi fel a kisebbik értéket, ahány egész szám van a két 2-hatvány között; pl. a 2 értéket a log24, log25, log26, log27 helyen.
Az összegezést addig kell folytatnunk, amíg elérjük a 2002 értéket. Mivel 210=1024<2002, de 211=2048>2002, az utolsó érték a 10 lesz, amelyet 2003-1024=979 helyen vesz fel a függvény.
Így a keresett összeg értéke:
(0+21+42+83+...+5129)+97910==(k=19k2k)+9790=(k=192k)+(k=292k)+...+(k=992k)+9790==(210-2)+(210-22)+...+(210-29)+9790==9210-(210-2)+9790=213+9792=17984.