Kezdőlap


Feladat:	B.3585	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Poronyi Balázs
Füzet:	2003/április, 221 - 222. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenlőtlenségek, Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/november: B.3585

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlőtlenséget oszthatjuk $x$ -szel, hiszen $x > 0$ :

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{1}{x^{2}} + x^{2}} > \frac{1}{x} + x - 2 a . \end{matrix}

További átalakításokkal

\begin{matrix} 2 a > \frac{1}{x} + x - \sqrt[]{\frac{1}{x^{2}} + x^{2}} = \frac{1}{x} + x - \sqrt[]{{(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2} \end{matrix}

adódik. Jelöljük

x + \frac{1}{x}

-et

y

-nal, ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 a > y - \sqrt[]{y^{2} - 2} & = & \frac{(y - \sqrt[]{y^{2} - 2}) (y + \sqrt[]{y^{2} - 2})}{y + \sqrt[]{y^{2} - 2}} = \\ = & \frac{y^{2} - y^{2} + 2}{y + \sqrt[]{y^{2} - 2}} = \frac{2}{y + \sqrt[]{y^{2} - 2}}, \end{matrix} \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a > \frac{1}{y + \sqrt[]{y^{2} - 2}} \end{matrix}

(1)

következik. Tekintettel arra, hogy

y = x + \frac{1}{x}

legkisebb értéke 2,

\sqrt[]{y^{2} - 2} \geq \sqrt[]{2}

, és

\begin{matrix} \frac{1}{y + \sqrt[]{y^{2} - 2}} \leq \frac{1}{2 + \sqrt[]{2}} = 1 - \frac{\sqrt[]{2}}{2} . \end{matrix}

Vagyis

1 - \frac{\sqrt[]{2}}{2} \geq \frac{1}{y + \sqrt[]{y^{2} - 2}}

. Tehát a felső határ (a legkisebb felső korlát)

1 - \frac{\sqrt[]{2}}{2}

, ezért az

a

paraméter azon értékei felelnek meg, amelyekre

a > 1 - \frac{\sqrt[]{2}}{2}

() Poronyi Balázs (Pécs, Janus Pannonius Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján