Feladat: B.3585 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Poronyi Balázs 
Füzet: 2003/április, 221 - 222. oldal  PDF file
Témakör(ök): Paraméteres egyenlőtlenségek, Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/november: B.3585

Határozzuk meg az a paraméter azon értékeit, amelyekre az
1+x4>1-2ax+x2
egyenlőtlenség minden pozitív x-re teljesül.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlőtlenséget oszthatjuk x-szel, hiszen x>0:

1x2+x2>1x+x-2a.
További átalakításokkal
2a>1x+x-1x2+x2=1x+x-(x+1x)2-2
adódik. Jelöljük x+1x-et y-nal, ekkor
2a>y-y2-2=(y-y2-2)(y+y2-2)y+y2-2==y2-y2+2y+y2-2=2y+y2-2,
amiből
a>1y+y2-2(1)
következik. Tekintettel arra, hogy y=x+1x legkisebb értéke 2, y2-22, és
1y+y2-212+2=1-22.
Vagyis 1-221y+y2-2. Tehát a felső határ (a legkisebb felső korlát) 1-22, ezért az a paraméter azon értékei felelnek meg, amelyekre a>1-22.
(Poronyi Balázs (Pécs, Janus Pannonius Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján