Feladat: B.3572 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bitai Tamás 
Füzet: 2003/április, 219 - 220. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egészrész, törtrész függvények, Algebrai egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/október: B.3572

Oldjuk meg az [x/2]+[x/4]=[x] egyenletet. ([x], az x egész része az x-nél nem nagyobb egészek legnagyobbika.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Szorítsuk az egyenlet mindkét oldalát határok közé. Az egész rész definíciója alapján:

34x-2<[x2]+[x4]34x,x-1<[x]x.
Ha 34xx-1, azaz 4x, vagy 34x-2x, azaz -8x, akkor nincs megoldása az egyenletnek. A megoldásnak így a megmaradt (-8;4) intervallumban kell lennie. Osszuk fel ezt az intervallumot olyan kisebb részekre, amelyeken az egyenlet mindkét oldala konstans; ezeket az értékeket a következő táblázat tartalmazza:
intervallum[x2]+[x4][x]%(-8;-7)-6-8%[-7;-6)-6-7%[-6;-5)-5-6%[-5;-4)-5-5(megoldás)%[-4;-3)-3-4%[-3;-2)-3-3(megoldás)%[-2;-1)-2-2(megoldás)%[-1;0)-2-1%[0;1)-00(megoldás)%[1;2)-01%[2;3)-12%[3;4)-13%
Az egyenlet megoldásai tehát a [-5;-4), [-3;-1), [0;1) intervallumok. \line{({\it })\hfill \hbox{\it Bitai Tamás} (Bonyhád, Petőfi Sándor Evangélikus Gimn., 10. évf.)}
\vskip6pt\hbox{\bf II. megoldás.} Ha [x]=n, akkor [x2]=[n2] és [x4]=[n4]; x tehát pontosan akkor megoldása a feladatnak, ha
n=[n2]+[n4].
Négy esetet kell megvizsgálnunk aszerint, hogy az n szám alkalmas k egész számmal 4k, 4k+1, 4k+2 vagy 4k+3 alakban írható-e föl.
Az első esetben egyenletünk 4k=2k+k alakú, ahonnan k=0, n=0.
A másodikban 4k+1=2k+k alakú, ahonnan k=-1, n=-3.
A harmadikban 4k+2=(2k+1)+k alakú, ahonnan k=-1, n=-2.
A negyedikben 4k+3=(2k+1)+k alakú, ahonnan k=-2, n=-5.
A feladat megoldásai tehát azok az x valós számok, melyeknek egész része 0, -3, -2 vagy -5, vagyis az egyenlet megoldáshalmaza: [-5;-4)[-3;-1)[0;1).