Kezdőlap


Feladat:	B.3571	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Kristóf
Füzet:	2003/február, 99 - 100. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometriával, Csonkakúp, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/szeptember: B.3571

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenes kúp körbegurítva akkora sugarú körpályán mozog, mint a kúp alkotójának hossza (csúcsa a kör középpontjában marad). Így tehát egy csonkakúp körbegurítva akkora sugarú körpályán mozog, mint az alkotói meghosszabbításával kapott kúp alkotója. Mivel a pohár sosem érte el az asztal peremét, a csonkakúp kiegészítésével kapott egyenes kúp alkotójának hossza kisebb az asztal sugaránál, azaz 80 cm-nél.

Jelölje a pohár magasságát

h_{1}

, az alkotók meghosszabbításával kapott kúp magasságát

h_{2}

, legyen a kúp alkotója

x

. Készítsünk keresztmetszeti ábrát. Legyen

E C = h_{1}

a csonkakúp,

A C = h_{2}

az egyenes kúp magassága,

A B = x

. Az ábrán

E D = 2

,5 cm,

C B = 3

,25 cm.
Az

A E D ▵

és az

A C B ▵

hasonló, hiszen oldalaik páronként párhuzamosak. Ekkor

\begin{matrix} \frac{B C}{A C} = \frac{D E}{A E}, azaz \frac{3, 25}{h_{2}} = \frac{2, 5}{h_{2} - h_{1}} . \end{matrix}

Ebből pedig

h_{1} = \frac{0, 75}{3, 25} h_{2}

. Azt is tudjuk, hogy

h_{2}^{2} = \sqrt[]{x^{2} - 3, 25^{2}}

, és mivel

x < 80

cm, azért

h_{2} < \sqrt[]{6389, 4375}

cm. Így a pohár magasságának lehetséges értékeit is megkaphatjuk:

h_{1} < \frac{0, 75}{3, 25} \cdot \sqrt[]{6389, 4375} = h

, azaz

0 < h_{1} < h

. Vagyis a pohár magassága kisebb, mint

h

, ahol

h \approx 18

,45 cm.

() Bérczi Kristóf (Szeged, Ságvári Endre Gyak. Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján