Feladat: B.3571 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bérczi Kristóf 
Füzet: 2003/február, 99 - 100. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai számítások trigonometriával, Csonkakúp, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/szeptember: B.3571

Egy egyenes csonkakúp alakú poharat körbegurítottunk egy kör alakú asztalon úgy, hogy mozgás közben sosem érte el az asztal
peremét. Az asztal átmérője 1,6m. A pohár alja 5cm, a teteje pedig 6,5cm átmérőjű kör. Milyen magas lehet a pohár?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenes kúp körbegurítva akkora sugarú körpályán mozog, mint a kúp alkotójának hossza (csúcsa a kör középpontjában marad). Így tehát egy csonkakúp körbegurítva akkora sugarú körpályán mozog, mint az alkotói meghosszabbításával kapott kúp alkotója. Mivel a pohár sosem érte el az asztal peremét, a csonkakúp kiegészítésével kapott egyenes kúp alkotójának hossza kisebb az asztal sugaránál, azaz 80 cm-nél.

 
 

Jelölje a pohár magasságát h1, az alkotók meghosszabbításával kapott kúp magasságát h2, legyen a kúp alkotója x. Készítsünk keresztmetszeti ábrát. Legyen EC=h1 a csonkakúp, AC=h2 az egyenes kúp magassága, AB=x. Az ábrán ED=2,5 cm, CB=3,25 cm.
Az AED és az ACB hasonló, hiszen oldalaik páronként párhuzamosak. Ekkor
BCAC=DEAE,azaz3,25h2=2,5h2-h1.
Ebből pedig h1=0,753,25h2. Azt is tudjuk, hogy h22=x2-3,252, és mivel x<80 cm, azért h2<6389,4375 cm. Így a pohár magasságának lehetséges értékeit is megkaphatjuk: h1<0,753,256389,4375=h, azaz 0<h1<h. Vagyis a pohár magassága kisebb, mint h, ahol h18,45 cm.
(Bérczi Kristóf (Szeged, Ságvári Endre Gyak. Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján