Kezdőlap


Feladat:	B.3554	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sándor Ágnes , Sándor Nóra Katalin
Füzet:	2003/február, 94 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Paralelogrammák, Pont körre vonatkozó hatványa, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/május: B.3554

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen $B A M ∢ = α$ , ez a $B M$ húrhoz tartozó kerületi szög. Ekkor a kerületi szögek tétele alapján $M B C ∢ = α$ . $B A M ∢$ és $M C D ∢$ váltószögek, tehát $M C D ∢ = α$ .

Húzzunk a

C

pontban érintőt az

M B C

háromszög köré írt körhöz. Mivel az

M C

húrhoz tartozó kerületi szög nagysága

α

, azért az

M C

húrral az érintő egyenese is

α

szöget zár be. Ez csak úgy lehetséges, hogy a

D C

oldal egybeesik a

C

pontba húzott érintővel. Ezt kellett bizonyítani.

() Sándor Nóra Katalin (Pápa, Református Gimn., 11. évf.)

II. megoldás. A szelőszakaszok tétele alapján az

A M B

háromszög körülírt köréhez a

C

pontból húzott szelőszakaszok szorzata állandó, egyenlő a

C

-ből a körhöz húzott érintőszakasz hosszának négyzetével, vagyis

C M \cdot C A = B C^{2}

. A paralelogramma átlói felezik egymást, így

C A = 2 C M

, ezt helyettesítve az előbbi egyenlőségbe

\begin{matrix} 2 C M^{2} = B C^{2} \end{matrix}

(1)

Messe a

B C M

háromszög körülírt köre a

D C

egyenest a

C

és a

P

pontokban. Ekkor

\begin{matrix} D M \cdot D B = D P \cdot D C, \end{matrix}

és

D B = 2 D M

miatt

\begin{matrix} 2 D M^{2} = D P \cdot D C . \end{matrix}

(2)

D M

súlyvonal az

A D C

háromszögben, amelyre ismert a következő összefüggés:

\begin{matrix} D M^{2} = \frac{A D^{2} + D C^{2}}{2} - \frac{A C^{2}}{4} . \end{matrix}

Felhasználva az előbbi

C A = 2 C M

egyenlőséget,

D M^{2} = \frac{A D^{2} + D C^{2}}{2} - C M^{2}

2 D M^{2} = A D^{2} + D C^{2} - 2 C M^{2}

. (1)-ből

2 C M^{2} = B C^{2}

, tehát

2 D M^{2} = A D^{2} + D C^{2} - B C^{2}

és

A D = B C

miatt

2 D M^{2} = D C^{2}

. Ezt összevetve (3)-mal azt kapjuk, hogy

D C^{2} = D P \cdot D C

, azaz

D P = D C

.
Mivel

P

rajta van a

D

kezdőpontú,

C

-t tartalmazó félegyenesen, azért

C = P

. Az

M B C

háromszög körülírt köre tehát valóban érinti a

D C

egyenest.

() Sándor Ágnes (Pápa, Református Gimn., 10. évf.)