Feladat: B.3554 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Sándor Ágnes ,  Sándor Nóra Katalin 
Füzet: 2003/február, 94 - 95. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Paralelogrammák, Pont körre vonatkozó hatványa, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/május: B.3554

Az ABCD paralelogramma átlói az M pontban metszik egymást. Az A, M, B pontokon átmenő kör érinti a BC egyenest. Bizonyítsuk be, hogy a B, M, C pontokon átmenő kör érinti a CD egyenest.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen BAM=α, ez a BM húrhoz tartozó kerületi szög. Ekkor a kerületi szögek tétele alapján MBC=α. BAM és MCD váltószögek, tehát MCD=α.

 
 

Húzzunk a C pontban érintőt az MBC háromszög köré írt körhöz. Mivel az MC húrhoz tartozó kerületi szög nagysága α, azért az MC húrral az érintő egyenese is α szöget zár be. Ez csak úgy lehetséges, hogy a DC oldal egybeesik a C pontba húzott érintővel. Ezt kellett bizonyítani.
(Sándor Nóra Katalin (Pápa, Református Gimn., 11. évf.)

 
II. megoldás. A szelőszakaszok tétele alapján az AMB háromszög körülírt köréhez a C pontból húzott szelőszakaszok szorzata állandó, egyenlő a C-ből a körhöz húzott érintőszakasz hosszának négyzetével, vagyis CMCA=BC2. A paralelogramma átlói felezik egymást, így CA=2CM, ezt helyettesítve az előbbi egyenlőségbe
2CM2=BC2(1)
Messe a BCM háromszög körülírt köre a DC egyenest a C és a P pontokban. Ekkor
DMDB=DPDC,
és DB=2DM miatt
2DM2=DPDC.(2)
DM súlyvonal az ADC háromszögben, amelyre ismert a következő összefüggés:
DM2=AD2+DC22-AC24.

 
 

Felhasználva az előbbi CA=2CM egyenlőséget, DM2=AD2+DC22-CM2, 2DM2=AD2+DC2-2CM2. (1)-ből 2CM2=BC2, tehát 2DM2=AD2+DC2-BC2 és AD=BC miatt 2DM2=DC2. Ezt összevetve (3)-mal azt kapjuk, hogy DC2=DPDC, azaz DP=DC.
Mivel P rajta van a D kezdőpontú, C-t tartalmazó félegyenesen, azért C=P. Az MBC háromszög körülírt köre tehát valóban érinti a DC egyenest.
(Sándor Ágnes (Pápa, Református Gimn., 10. évf.)