Kezdőlap


Feladat:	B.3544	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Matyuska Ferenc , Reiss Attila
Füzet:	2003/február, 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Beírt kör, Hozzáírt körök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: B.3544

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a beírt kör sugara $r$ , a hozzáírt körök sugara $r_{a}$ , $r_{b}$ és $r_{c}$ , jelölje a háromszög félkerületét $s$ , a háromszög területét pedig $T$ . Ismert, hogy például $r_{a} = \frac{T}{s - a}$ . Így

\begin{matrix} \frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r_{b}} + \frac{1}{r_{c}} = \frac{s - a}{T} + \frac{s - b}{T} + \frac{s - c}{T} = \frac{3 s - (a + b + c)}{T} = \frac{3 s - 2 s}{T} = \frac{s}{T} . \end{matrix}

A beírt kör sugaráról pedig tudjuk, hogy

\frac{1}{r} = \frac{s}{T}

, hiszen

T = r \cdot s

. Tehát

\begin{matrix} \frac{1}{r} = \frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r_{b}} + \frac{1}{r_{c}} . \end{matrix}

(1)

Legyen

r_{a} \leq r_{b} \leq r_{c}

, azaz

\frac{1}{r_{a}} \geq \frac{1}{r_{b}} \geq \frac{1}{r_{c}}

. Az (1) összefüggésben írjunk

\frac{1}{r_{a}}

és

\frac{1}{r_{b}}

helyére nem nagyobbat, azaz

\frac{1}{r_{c}}

-t! Ekkor

\frac{1}{r} \geq \frac{1}{r_{c}} + \frac{1}{r_{c}} + \frac{1}{r_{c}}

, vagyis

\frac{1}{r} \geq \frac{3}{r_{c}}

, azaz valóban

r_{c} \geq 3 r

() Reiss Attila (Kecskemét, Bányai Júlia Gimn., 12. évf.) és
Matyuska Ferenc (Szeged, Radnóti Miklós Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján