Feladat: B.3541 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bérczi Kristóf ,  Besenyei Balázs ,  Bóka Gergely ,  Boros Balázs ,  Dénes Ferenc ,  Egri Attila ,  Gyarmati Ákos ,  Hablicsek Márton ,  Hargitai Gábor ,  Herczegh Attila ,  Horváth Márton ,  Hubai Tamás ,  Kiss-Tóth Christián ,  Kocsis Albert Tihamér ,  Komáromy Dávid ,  Nagy Szabolcs ,  Pach Péter Pál ,  Pallos Péter ,  Pongrácz András ,  Puskás Anna ,  Rácz Béla András ,  Salát Máté ,  Sali András ,  Sándor Nóra Katalin ,  Simon Balázs ,  Sparing Dániel ,  Tábor Áron ,  Tóth János 
Füzet: 2003/február, 89 - 92. oldal  PDF file
Témakör(ök): Törtfüggvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/március: B.3541

Legyen f(x)=ax+bcx+d. Bizonyítsuk be, hogy ha f(f(f(1)))=1, és f(f(f(2)))=3, akkor f(1)=1.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Vizsgáljuk meg, mikor teljesül a feladat feltétele egy adott α számra, azaz mit jelent az, hogy f(f(f(α)))=α. Ehhez általában számoljuk ki f(f(f(α))) értékét. Mivel a feladat f(f(f(1))) értékéről beszél, azért számolás közben föltesszük, hogy valamennyi mennyiség értelmes, az előforduló nevezők egyike sem nulla.
f(f(α))=f(aα+bcα+d)=aaα+bcα+d+bcaα+bcα+d+d.
Bővítés és rendezés után
f(f(α))=(a2+bc)α+b(a+d)c(a+d)α+(bc+d2).
Ebbe helyettesítve f(α) értékét:
f(f(f(α)))=(a2+bc)f(α)+b(a+d)c(a+d)f(α)+(bc+d2)=(a2+bc)aα+bcα+d+b(a+d)c(a+d)aα+bcα+d+(bc+d2).
Ismét bővítve és rendezve
f(f(f(α)))=[a(a2+bc)+bc(a+d)]α+b[(a2+bc)+d(a+d)]c[a(a+d)+(bc+d2)]α+[bc(a+d)+d(bc+d2)].
Az f(f(f(α)))=α egyenlőséget a bal oldal imént kapott tört alakjának a nevezőjével szorozva és α hatványai szerint rendezve kapjuk, hogy:
[c(a2+ad+d2+bc)]α2-[a3+abc-bcd-d3]α-b(a2+bc+da+d2)=0.(1)
Vegyük észre, hogy α együtthatója szorzattá alakítható:
a3+abc-bcd-d3=a3-d3+bc(a-d)=(a-d)(a2+ad+d2+bc),
így pedig a P=a2+ad+d2+bc tényező (1) mindhárom tagjában szerepel, szorzattá alakíthatunk: ha f(f(f(α)))=α, akkor
P[cα2-(a-d)α-b]=0.(2)
Ellenőrizhető, hogy ha f(f(f(α))) kiszámolásakor egyik nevező sem nulla, akkor (2)-ből a lépések megfordításával megkapható az f(f(f(α)))=α feltétel. Vegyük észre, hogy a (2)-beli szorzat első tényezője, P, nem függ α értékétől. Ha tehát ez a tényező nulla ‐ ami kizárólag az f függvényen múlik ‐, akkor f(f(f(α)))=α minden olyan α számra teljesül, amelyre f(f(f(α))) értelmes. A feladat második feltétele szerint viszont f(f(f(2)))=3, az első tényező így most nem nulla, (2)-ben tehát a második tényezőnek kell nullának lennie, ha α=1:
c-(a-d)-b=0,
azaz a+b=c+d. Innen viszont f(1)=a+bc+d=1 következik, és ezt akartuk bizonyítani. (Ismét meg kell jegyeznünk, hogy a feladat szerint f(1) értelmes, tehát oszthatunk (c+d)-vel.)
(Több dolgozat alapján.

 
Megjegyzések. 1.) A feladat második feltétele csak annyiban lényeges, hogy
f(f(f(α)))=α
nem azonosság. Az f(x)=x-3x-2 függvényre például f(f(f(x)))=x a teljes értelmezési tartományon, de f(1)=2. Ebben az esetben az első tényező,
P=a2+ad+d2+bc=12-12+22-31=0.
Általában is így készíthetők olyan elsőfokú törtfüggvények, amelyeket háromszor iterálva az identitást kapjuk.
2.) A megoldásból kiderül, hogy az α szám pontosan akkor fixpontja az f(x)=ax+bcx+d elsőfokú törtfüggvénynek, ha α gyöke a cx2-(a-d)x-b polinomnak. Ez lehet elsőfokú, ha c=0, ilyenkor az f(x) ‐ legfeljebb ‐ elsőfokú polinom. A feladat úgy is megoldható, hogy annak számolunk utána, hogyan alakul ez az egyenlet f(f(x)), illetve f(f(f(x))) esetén. A megoldáshoz hasonló számolással adódik, hogy az f(f(x)) függvény fixpontjait kiszámoló egyenlet (a+d)[cx2-(a-d)x-b]=0, az f(x)-re vonatkozó megfelelő egyenlet (a+d)-szerese ‐ és így a+d = 0 annak a feltétele, hogy f(f(x)) az identikus leképezés legyen ‐, az f(f(f(x))) függvény fixpontjait pedig éppen a P[cx2-(a-d)x-b]=0 egyenlet számolja ki.
3.) A megoldás során lényegében azt igazoltuk, hogy ha az f(f(f(α)))=α egy adott értékre nem triviális módon ‐ azaz anélkül, hogy a közbülső f(α), f(f(α)) értékek egyenlők volnának α-val ‐ teljesül, akkor fennáll az értelmezési tartomány minden elemére. Másképpen fogalmazva: ha a g(x)=f(f(f(x))) függvénynek van fixpontja, azaz olyan α szám, amelyre g(α)=α, akkor az vagy az f függvénynek is fixpontja, vagy pedig a g(x) függvénynek minden szám fixpontja, g(x)=x a g értelmezési tartományán. A megoldás kétségkívül szerencsésen alakult, a hosszadalmas számolás után a (2) szorzatba mintegy belebotolva találtunk rá a feladat jelentésére, és így magára az állításra is. Az alábbi megközelítés csak a lényeges dolgokat veszi figyelembe.
 
II. megoldás. Legyen továbbra is g(x)=f(f(f(x))), és tekintsük a p=f(1) és a q=f(p)=f(f(1)) értékeket. A feltétel szerint ekkor f(q)=1. Azonnal adódik, hogy g(p)=p és g(q)=q, a g(x) függvénynek az 1 mellett a p és a q is fixpontja. Ha e három érték között vannak egyenlők, akkor az 1fpfqf1 láncban van két szomszédos egyenlő tag, ahonnan, mivel f kölcsönösen egyértelmű, 1=p=q, azaz a bizonyítandó állítás, f(1)=1 következik.
Ha az 1, p, q számok között nincsenek egyenlők, akkor az elsőfokú törtfüggvények kompozíciójaként adódó g(x) függvénynek, amely így maga is elsőfokú törtfüggvény, három különböző fixpontja van. Ismeretes, hogy egy elsőfokú törtfüggvényt három értéke egyértelműen meghatároz. Ha tehát f(1)1, akkor g(x)=x teljesül az x három különböző értékére, 1-re, p-re és q-ra. Ez pedig azt jelenti, hogy a g(x) értelmezési tartományának minden elemére g(x)=x. A feltétel szerint viszont g(2)=3, így az 1, p, q számok nem lehetnek valamennyien különbözők. Ezzel a megoldást befejeztük.
(Gyarmati Ákos (Zalaegerszeg, Zrínyi Miklós Gimn., 9. évf.)