Feladat: C.675 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2003/február, 88. oldal  PDF file
Témakör(ök): Négyzetszámok tulajdonságai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/május: C.675

Van-e olyan négyzetszám, amelynek utolsó két számjegye páratlan?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tudjuk, hogy csak páratlan szám négyzete végződhet páratlan számra.
Legyen 10a+b egy ilyen szám, ahol b értéke 1, 3, 5, 7 vagy 9. Ekkor

(10a+b)2=100a2+210ab+b2.
Látjuk, hogy négyzetre emeléskor a tízesek helyén álló szám páros, ha az egyesek helyén álló szám négyzete nem lépi át a 10-et. Ez történik b=1 és 3 esetén. Ha viszont b=5, 7 vagy 9, akkor b2=25, 49, illetve 81. Mivel két páros szám összege páros, a tízesek helyén sohasem állhat páratlan szám.